 |
|
Расчет погрешностей прямых измерений
1. Случайные погрешности. Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии Скворцовой И.Л. «Ошибки измерений физических величин»).
Как же оценить истинное значение измеряемой величины?
Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений.
результат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал.
Мы укажем способ определения интервала при заданной вероятности для небольшого числа измерений, как это требуется в нашем практикуме.
Для расчета случайных погрешностей вводятся следующие понятия:
· Среднее арифметическое серии из N прямых измерений:
.
· Абсолютная случайная погрешность каждого измерения – это разность между средним арифметическим всех измерений и данным измерением:
.
· Средняя квадратичная абсолютная погрешность измерения среднего:
.
· Доверительный интервал – это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.
· Коэффициент надежности – это вероятность, с которой истинное значение попадает в доверительный интервал.
При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность 
можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность 
:
,
где 
– коэффициент, зависящий от числа измерений и коэффициента надежности, называемый коэффициентом Стъюдента. Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата.
Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1.
Таблица 1
| Число измерений | |||||||||||
| Коэффициент Стъюдента | 6,3 | 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,9 | 1,9 | 1,8 | 1,8 | 1,8 |
2. Систематические погрешности. Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности.
Класс точности прибора 
– это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины, которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы).
.
Тогда абсолютная погрешность 
такого прибора определяется соотношением:
,
где 
– номинал шкалы.
Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.
Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем выше точность измерения. Максимальная точность (т.е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу.
Если класс точности для прибора не указан, то абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.
Исключение составляют приборы:
- с нониусом (например, штангенциркуль),
- с фиксированным шагом стрелки (например, секундомер)
- цифровые приборы.
Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса.
Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления. Аналогично учитывается и погрешность цифровых приборов.