 |
|
РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Цель. Изучить методы расчета нелинейных электрических цепей переменного тока.
5.1. Задание по самоподготовке
1. Повторить формулировку первого и второго законов Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формах.
2. Проработать тему «Нелинейные электрические цепи переменного тока» по литературе [l] § 15.1…15.3, 15.7, 15.19…15.22, 15.44…15.48 и п.5.2 данной главы..
3. Рассмотреть примеры пункта 5.3. данных указаний.
4. Решить задачи из п.5.4 и на выбор из п.5.5.Ответить на контрольные вопросы п. 5.6.
5.2. Методические указания
Процессы в нелинейных цепях переменного тока описываются по законам Кирхгофа. Общего метода решений нелинейных уравнений не существует, однако для практики часто достаточным является приближенное решение.
Наиболее широко распространены следующие методы расчета нелинейных цепей переменного тока:
1. Графический метод, использующий вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики нелинейных элементов для мгновенных значений (см. пример 5.3.1)
2. Аналитический метод, использующий вольт-амперные характеристики для мгновенных значений, при замене этих характеристик отрезками прямых линий (аппроксимации ) (см. пример 5.3.2).
3. Аналитический метод расчета по первым гармоникам тока и напряжения. Для выполнения расчета должна быть задана вольт-амперная характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам тока и напряжения, высшими гармониками пренебрегают. Последовательность расчета рассмотрена в примере 5.3.3.
4. Аналитический метод, использующий вольт-амперные характеристики по действующим значениям. В этом методе реальные несинусоидальные кривые 
и 
в цепи с нелинейными элементами заменяют эквивалентными синусоидами. Последовательность расчета такая же, как в предыдущем методе.
Примеры
5.3.1. Катушка с сердечником, набранным на листовой стали, подключена к синусоидальному напряжению, действующее значение которого 220 В (рис. 5.1).
Рис. 5.1
Сечение сердечника 
м2, число витков обмотки 
, средняя длина линии магнитной индукции 
см. Частота напряжения сети 
Гц. Кривая намагничивания стали приведена в табл. 5.1.
Таблица 5.1.
| В, Тл | 0,7 | 0,96 | 1,2 | 1,24 | 1,28 | 1,3 | 1,41 | 1,5 | 1,54 | |
| Н, А/м |
Пренебрегая магнитным потоком рассеяния, потерями в стали и в активном сопротивлении обмотки, нарисовать график тока 
определить максимальное значение тока при заданном напряжении и при увеличении напряжения на 10%.
Решение
Поскольку ток катушки переменный, то и магнитный поток, создаваемый им, будет переменным. По закону электромагнитной индукции переменный магнитный поток наведет в катушке ЭДС 
. При допущении, что падение напряжения на активном сопротивлении катушки ничтожно мало, по закону Кирхгофа напряжение на зажимах катушки
.
Если принять 
, то магнитный поток Ф в сердечнике в установившемся режиме будет изменяться по синусоидальному закону:
Вб.
Для построения графика тока построим предварительно вебер-амперную характеристику 
для заданной катушки.
Задаваясь значениями магнитной индукции В и соответствующими значениями напряженности Н из кривой намагничивания стали, проводим расчеты магнитного потока 
и тока 
.
Результаты расчета сведем в табл. 5.2.
Таблица 5.2.
| В, Тл | 0,7 | 0,96 | 1,2 | 1,24 | 1,28 | 1,3 | 1,41 | 1,5 | 1,54 | |
| Ф∙10-4, Вб | 8,4 | 11,5 | 14,4 | 14,9 | 15,4 | 15,6 | 16,9 | 18,5 | ||
| Hl, A | ||||||||||
| i , А | 0,12 | 0,24 | 0,6 | 0,72 | 0,84 | 0,96 | 1,56 | 2,1 |
Кривая построена на рис. 5.2, а.
а) б)
Рис. 5.2
Задаваясь значениями 
, рассчитываем магнитный поток 
и по вебер-амперной характеристике находим ток 
. Расчеты сводим в табл. 5.3.
Таблица 5.3.
 , град
| |||||||
| Ф∙10-4,Вб | 8,2 | 14,2 | 16,4 | 14,2 | 8,2 | ||
| i , А | 0,1 | 0,5 | 1,3 | 0,5 | 0,1 |
Кривые и построены на рис. 5.2, б.
Как видно из графика , ток изменяется по несинусоидальному закону, кривая тока имеет заостренную форму. Максимальное значение тока при заданном напряжении 
А.
При увеличении напряжения на 10%, амплитуда магнитного потока также возрастает на 10% и будет равна 
Вб. Из характеристики находим максимальное значение тока 
А. Оно увеличивается в сравнении с максимальным значением тока в номинальном режиме в
раза.
5.3.2. Аккумуляторная батарея, ЭДС которой Е = 12 В и внутреннее сопротивление R = 6 Ом, подключена через идеальный диод к источнику синусоидального напряжения с амплитудой 24 В (рис. 5.3, а) и частотой Гц. Характеристика диода дана на рис. 5.3, б.
а) б)
Рис. 5.3
Определить максимальное 
и среднее Iср значения тока и максимальное обратное напряжение на диоде 
. Построить графики 
и 
.
Решение
Напряжение, приложенное к цепи, 
В.
Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:
(5.1)
Судя по вольт-амперной характеристике идеального диода (рис. 5.3,б), когда диод открыт и проводит ток, напряжение на диоде 
и из уравнения (5.1) ток
А. (5.2)
Из уравнения (5.2) следует, что 
А при 
.
Когда диод закрыт, то 
и из уравнения (5.1)
В. (5.3)
Из уравнения (5.3) следует, что максимальное обратное напряжение на диоде 
В при 
.
Для определения среднего значения тока через диод 
и построения графиков и необходимо определить моменты времени открытия и закрытия диода.
Открытию диода соответствует момент времени 
, когда напряжение на диоде 
станет равным нулю. Тогда по уравнению (5.3)
.
Следовательно, 
рад.
Момент открытия диода
с,
Момент времени закрытия диода 
также соответствует значению , но уже во второй четверти изменения синусоидального напряжения, т.е. 
рад, а 
с.
Графики 
, , показаны на рис. 5.4. На этих графиках период 
с. Пунктиром показаны составляющие тока i по уравнению (5.2) и напряжения на диоде по уравнению (5.3).
Рис. 5.4.
Среднее значение тока за период Т, которое измеряется приборами магнитоэлектрической системы, определим по формуле
А.
5.3.3. Электрическая цепь (рис. 5.5,а) питается от источника синусоидального напряжения. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейных конденсаторов по первой гармонике представлена на рис. 5.5,б. Значения сопротивлений по первой гармонике 
Ом, 
Ом, 
Ом.
Определить значение напряжения 
при токе 
А. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рис. 5.5.
Решение
Для определения напряжения составим уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме:
.
Как видим, в этом уравнении неизвестны комплексные значения 
. Для их определения по заданному значению тока 
А находим по ВАХ напряжение на нелинейной емкости 
В. Примем в комплексной форме 
А, тогда 
В, т.к. напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90о.
Напряжение на участке с параллельным соединением ветвей
В;
А.
По первому закону Кирхгофа
А.
Определяем действующее значение тока
А.
Начальная фаза этого тока 
.
Судя по комплексной записи тока 
, вектор этого тока лежит в третьей четверти, поэтому при нахождении 
вычитается 180о.
При токе 
А определяем по ВАХ напряжение на нелинейном конденсаторе 
В.
Для комплексной записи этого напряжения учтем, что напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на 90о, т.е. начальная фаза напряжения
.
Комплексная запись напряжения
В.
Находим напряжение на входе цепи
Действующее значение напряжения по первой гармонике
В.
Строим векторную диаграмму (рис. 5.6). Выбираем масштабы для тока 
А/см и для напряжения 
В/см.
Рис. 5.6.
Векторная диаграмма может быть основой для графического решения задачи, а также для проверки выполнения комплексных расчетов. На векторной диаграмме проверяется исполнение законов Кирхгофа и взаимное расположение векторов токов и напряжений на участках цепи. На резистивном элементе ток и напряжение должны совпадать по фазе, на индуктивном элементе ток отстает от приложенного напряжения на 900, на емкостном элементе опережает напряжение на 900.
5.4. Задачи для самостоятельного решения
5.4.1. В схеме цепи (рис. 5.7,а) последовательно включены источник синусоидальной ЭДС 
В, источник постоянной ЭДС Е0 = 50 В, идеальный полупроводниковый диод (характеристика диода дана на рис. 5.7,б) и резистор с сопротивлением R = 1 кОм.
Определить максимальное значение тока через диод и какое время в течение периода диод остается открытым, если 
рад/с.
а) б)
Рис. 5.7.
Ответ: 
= 0,2 А, время открытия диода 
с, время закрытия 
с, диод остается открытым в течение 
с.
5.4.2. Схема цепи (рис. 5.8,а) содержит индуктивную катушку с ферромагнитным сердечником, ВАХ которой по действующим значениям тока и напряжения изображена на рис. 5.8,б. Цепь питается от синусоидального напряжения, значения сопротивлений линейных элементов:
Ом, 
Ом, 
Ом.
Определить значение напряжения при токе на входе цепи 
А.
Рис. 5.8.
Ответ: = 60 В.
5.5. Индивидуальные задания
На рис. 5.9…5.16 приведены схемы электрических цепей, содержащих нелинейный элемент. ВАХ нелинейных элементов, по действующим значениям тока и напряжения, приведены на рис. 5.17. Определить напряжение на входе цепи по заданным значениям тока в нелинейном элементе и сопротивлений элементов цепи (табл. 5.4).
Таблица 5.4.
| № вар. | № схемы | № ВАХ | I1, A | R, Ом | XL, Ом | XC, Ом |
| 5.9 | 0,6 | - | ||||
| 5.10 | 0,8 | - | ||||
| 5.11 | 0,2 | - | ||||
| 5.12 | 0,4 | - | ||||
| 5.13 | 0,6 | - | ||||
| 5.14 | - | |||||
| 5.15 | - | |||||
| 5.16 | 1,2 | - | ||||
| 5.9 | 1,2 | - | ||||
| 5.10 | 0,4 | - | ||||
| 5.11 | - | |||||
| 5.12 | 0,6 | - | ||||
| 5.13 | 0,4 | - | ||||
| 5.14 | 0,2 | - | ||||
| 5.15 | 0,6 | - | ||||
| 5.16 | - |
5.6. Контрольные вопросы
1. Какие нелинейные элементы создают сопротивление в цепи переменного тока?
2. Какие методы расчета используют для нелинейных электрических цепей переменного тока?
3. Что означают вольт-амперная, вебер-амперная, кулон-вольтная характеристики?
4. Нарисуйте вольт-амперную характеристику идеального диода.
5. Нарисуйте вебер-амперную характеристику нелинейной индуктивности.