Методы отделения (локализации) корнейСтр 1 из 2Следующая ⇒
Решение нелинейного уравнения с одним неизвестным в различных средах программного обеспечения Методическая разработка по выполнению курсовой работы по информатике для студентов специальности 080801.65 – Прикладная информатика (в менеджменте)
Нижний Новгород 2009 Содержание Введение............................................................................................................. 3 1.Постановка задачи......................................................................................... 4 2.Методы отделения корней............................................................................. 5 2.1.Графический метод................................................................................ 5 2.2Аналитический метод ............................................................................ 6 3.Методы уточнения корней ............................................................................ 8 3.1.Метод половинного деления................................................................. 8 3.2.Метод последовательных приближений............................................... 10 3.3.Метод Ньютона...................................................................................... 12 4.Анализ результатов........................................................................................ 16 Заключение........................................................................................................ 17 Варианты заданий............................................................................................. 18 Список рекомендуемой литературы................................................................. 19
Введение В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCad, Mathlab и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные и не вникая в сущность алгоритмов, можно решить значительное число задач. Безусловно, умение пользоваться этими программными продуктами существенно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Зачастую решение некоторых задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу или являться составной частью более сложных задач. Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. При традиционном подходе к изучению численных методов в основном в математических курсах ориентируются на стандартные ручные расчеты. С развитием материальной и программной базы современных компьютеров при принятии тех или иных решений более реалистичным представляется подход численных расчетов при использовании новейших информационных технологий. В представленной работе на примере решения нелинейного уравнения с одной неизвестной f(x)=x+ + -2.5 реализуются 3 технологии: ● алгоритмическая на базе программной среды Pascal; ● с использованием табличного процессора Excel; ● на основе пакета формульных преобразований MathCAD. Делается сравнительный анализ полученных результатов.
Постановка задачи Пусть дано уравнение f (x)=0, (1)где функция f (x) непрерывна на некотором множестве X. Совокупность значений переменной х, при которых уравнение (1) обращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое отдельное значение – корнем уравнения. В зависимости от вида функции f(x) уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. В первых для получения значения функции по аргументу необходимо выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем (иррациональные функции, где используется операция извлечения корня, также относят к классу алгебраических функций). Алгебраическое уравнение можно привести к виду: + +…+ + =0, (2) где числа , i = - коэффициенты уравнения, которые в общем случае являются комплексными. Таким образом, корни уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными. Будем считать числа вещественными. Функцию называют трансцендентной, если она содержит логарифмические, показательные, тригонометрические и другие функции. И если в записи уравнения (1) содержится трансцендентная функция, то уравнение называют трансцендентным. Точные аналитические значения корней уравнения (1) можно найти лишь в простейших случаях (ах+в=0; а +вх+с=0; соs(x)=а и т.д.). Кроме того, коэффициенты некоторых уравнений есть приближенные числа, поэтому нельзя говорить о нахождении точных корней. Будем считать, что уравнение (1) имеет только действительные корни. Тогда нахождение корней с заданной точностью необходимо проводить в два этапа: - отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых промежутков, в которых содержится только один корень уравнения; - уточнение каждого из отдельных корней, т.е. определение их с заданной точностью. Рассмотрим технологию выполнения курсовой работы на примере определения корней уравнений на интервале . Методы отделения (локализации) корней Графический метод Он основан на построении графика функции y=f(x). Тогда искомым отрезком [а;в], содержащим корень уравнения (1), будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью. Иногда выгоднее представить исходную функцию в виде разности двух более простых функций f(x)=g(x)-g1(x) и строить два графика = g(x) и = g1(x), точка пересечения которых и является корнем уравнения (1), а отрезок на оси абсцисс с корнем внутри и будет являться интервалом изоляции. Этот метод хорошо работает в случае, если исходное уравнение не имеет близких корней и дает тем точнее результат, чем мельче берется сетка по оси ОХ.
Пакет Excel Первый способ f(x) = x+ + -2.5
Второй способ g(x) = x+ ; g1(x) = 2.5 -
Искомый корень уравнения находится на отрезке [0,7;0,8] Пакет MathCAD
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|