Главная | Обратная связь

Построение результирующих эпюр M, Q, N

8 Построение результирующей эпюры М метода сил. Проверка правильности ее построения:

После того, как определены неизвестные X₁, X₂,......,X_n результирующую эпюру M можно построить двумя способами:

1) найденные в результате решения системы уравнений неизвестные X₁,X₂ ,...., X_n прикладывают к основной системе вместе с заданной нагрузкой и строят эпюру M , как для статически определимой рамы;

2) можно воспользоваться уже имеющимися единичными эпюрами _i и грузовой M_P. Алгебраически складывая ординаты грузовой эпюры M_P с ординатами исправленных эпюр _i X _i , получают результирующую эпюру M :

M = M_P + .

Проверка правильности построения окончательной эпюры M :

1. Т.к. узлы рамы находятся в равновесии, то алгебраическая сумма изгибающих моментов и внешних, приложенных к данному узлу, должна равняться нулю.

M_3-4 - M_4-2 - M_1-4 = 0

2. Деформационная проверка заключается в том, что результат перемножения окончательной эпюры M на любую возможную единичную эпюру, построенную для основной системы метода сил, должен равняться нулю, т.к. в заданной системе перемещение по направлению отброшенной связи для которой строится единичная эпюра равно нулю, т.е.

( М _рез х _i ) = 0 .

9 Построение результирующей эпюры Q метода сил

Эпюру поперечных сил будем строить используя результирующую эпюру моментов. Построение эпюры Q основано на равновесии вырезанного из системы стержня или части его. Раму расчленяют на отдельные элементы (балки) и, рассматривая каждый такой элемент как статически определимую однопролетную балку, поэлементно строят эпюры Q. Загружают такие однопролетные балки внешней заданной нагрузкой и опорными моментами. Опорные моменты берут из окончательной эпюры M.

В пределах участков где эпюра M_РЕЗ прямолинейна, поперечная сила может определяться по формуле Журавского:

Q = ,

где a - угол наклона эпюры M_РЕЗ к оси элемента.

На эпюре поперечных сил обязательно ставить знаки.

10 Построение результирующей эпюры N метода сил

Эпюру продольных сил строят по эпюре Q способом вырезания узлов. Начинать надо с того узла, в котором неизвестны продольные усилия не более чем в двух элементах. К вырезанному узлу прикладывают внешние сосредоточенные силы (если таковые имеются), а к разрезанным элементам поперечные силы. Положительные поперечные силы прикладывают к элементу так, чтобы они вращали узел по часовой стрелке, отрицательные - против. Неизвестные продольные усилия направляют от узла, известные - в зависимости от знака усилия.

Ординаты эпюры продольных сил можно откладывать в любую сторону, но обязательно ставить знаки.

11. Особенности расчет статически неопределимых систем на изменение температуры

При расчете статически неопределимых рам или других систем на изменение температуры канонические уравнения метода сил имеют вид:

 

Здесь свободные члены D_1t , D_2t ,...., D_nt представляют собой перемещения основной системы по направлению отброшенных связей X₁ ,X₂ ,...., X_n от действия температуры.

12. Особенности расчет статически неопределимых систем на смещение опор

Осадка опор сооружений может происходить из-за податливости грунта под фундаментом, при горных выработках, карстовых явлениях и т.д.

Система канонических уравнений при расчете сооружений на смещение опор записывается:

 

здесь D_KC - это перемещение по направлению X_K вызванное смещением опор.

Перемещения опор определяют наблюдая за сооружением в процессе его эксплуатации, задаются маркшейдерами при шахтных подработках застраиваемых территорий и т.д.

13. Метод сил: использование симметрии рамы при выборе основной системы

основную систему необходимо выбрать симметричной, причем постараться, чтобы как можно большее число неизвестных было в виде прямо- и обратносимметричных усилий.

Прямосимметричные неизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратносимметричные неизвестные — кососимметричные эпюры. Результат перемножения таких эпюр:

= 0 .

Тогда в нашем случае d₁₂ = d₂₁ = 0 ; d₁₃ = d₃₁ = 0 , и система из трех уравнений с тремя неизвестными :

ì d₁₁Х₁ + d₁₂Х₂ + d₁₃Х₃ + D_1Р =0

í d₂₁Х₁ + d₂₂Х₂ + d₂₃Х₃ + D_2Р =0

î d₃₁Х₁ + d₃₂Х₂ + d₃₃Х₃ + D_3Р =0 ,

после подстановки коэффициентов превращается в одно независимое уравнение :

d₁₁Х₁ + D_1Р =0 ;

и систему из двух уравнений с двумя неизвестными :

ì d₂₂Х₂ + d₂₃Х₃ + D_2Р =0

î d₃₂Х₂ + d₃₃Х₃ + D_3Р =0 .

14. Расчет симметричных рам методом сил: Группировка неизвестных

Часто, при расчете симметричных рам, не удается выбрать основную систему так, чтобы все неизвестные разместились на оси симметрии. Поэтому для получения симметричных и обратно симметричных эпюр приходится в качестве неизвестных применять не отдельные силы, а группы прямо- и кососимметричных сил.

У₁ = Х₁ + Х₂

У₂ = Х₁ - Х₂ , d₁₂ + d₂₁ = 0.

таким образом система уравнений:

(2)

преобразуется:

d₁₁ X₁+ D_1P = 0;

и

d₂₂ X₂+ D_2P = 0

15. Расчет симметричных рам методом сил: Преобразование нагрузки

Любую нагрузку, приложенную к симметричной раме, можно разложить на составляющие симметричного и кососимметричного вида.

q/2 q/2

Х₂ =0 X₂

X₁ =0 X₁

P P/2 P/2

h = 4

q/2 X₄ X₃

q/2

X₃ P/2 X₄ P/2

II

Сумма двух загружений I + II

дает исходное загружение

При загружении рамы симметричной нагрузкой в симметричных связях будут возникать только симметричные неизвестные усилия, а при загружении обратно симметричной нагрузкой — обратно симметричные усилия (см. рисунок).

16. Порядок расчета рам методом сил

1. Определяют степень статической неопределимости системы:

h = C_ОП + 2Ш₀ - 3D;

или

h = 3K- Ш₀ ;

2. Выбирают наиболее рациональную основную систему метода сил (с учетом возможных упрощений).

3. Записывают систему канонических уравнений метода сил.

4. Для основной системы строят единичные `M_i и грузовую M_P эпюры моментов.

5. Определяют коэффициенты системы канонических уравнений.

6. Проверяют правильность вычисления коэффициентов (универсальная, построчная и проверка грузовых коэффициентов).

7. Решают систему канонических уравнений и определяют значение неизвестных X₁ ,X₂ ,....,X_n . Правильность решения системы следует проверить подстановкой найденных неизвестных в систему уравнений.

8. Строят исправленные эпюры `M_iX_i

9. Суммируя исправленные эпюры и грузовую, получают результирующую эпюру

10. Проверяют правильность построения эпюры M_РЕЗ:

а) должно выполнятся равенство моментов в узлах;

в) деформационная проверка ( ) = 0.

11. По эпюре M_РЕЗ строят эпюру поперечных сил Q и затем по эпюре Q - эпюру продольных сил N.

12. Выполняется статическая проверка равновесия рамы в целом :

åM_K = 0;

åx = 0;

åy = 0;

в эти уравнения входит заданная нагрузка и опорные реакции, которые берут из эпюр M_РЕЗ , Q, N.

13. В случае необходимости определяют перемещения указанных сечений рамы.

 

17. Определение перемещений статически неопределимых систем

Для определения перемещений статически неопределимых систем необходимо вначале построить эпюры M от действия внешней нагрузки и от действия единичной обобщенной силы, приложенной по направлению искомого перемещения. И затем перемножая эпюры по правилу Верещагина, определяют искомое перемещение. При этом грузовую эпюру строят для заданной статически неопределимой системы (решая ее любым из известных методов: метод сил, перемещений и т.д.), а единичную эпюру строят для основной системы метода сил, что значительно упрощает процесс определения необходимых перемещений.

Для заданной рамы эпюра M_РЕЗ показана на рис. б. Если в опоре В отбросить две опорные связи и по направлению отброшенных связей приложить опорные реакции V_B и H_В (см. рис. в), то эпюры моментов и деформации систем, показанных на рис. а и в будут одинаковы, а, следовательно, для определения D_с^гор единичную эпюру можно строить как для заданной (рис. а) так и для основной (рис. в) системы метода сил, т.е.:

18. Основные положения метода перемещений

Метод перемещений является таким же универсальным методом, как и метод сил, и может быть применен для расчета любых статически неопределимых систем. Однако наиболее рационально применение этого метода для расчета статически неопределимых рам и неразрезных балок. При расчете других статически неопределимых систем (ферм, арок и т.д.) решение методом перемещений получается более громоздким в сравнении с методом сил, и, в ручной реализации, для расчета таких систем метод перемещений, как правило, не применяется.

В методе сил за неизвестные принимались усилия в так называемых «лишних» связях, после определения которых мы могли найти все остальные усилия (M, Q, N) в любом сечении, а затем, используя полученные эпюры определить перемещения любой точки сооружения.

Но можно решить задачу и в другой постановке: вначале определить перемещения каких-либо точек сооружения, а затем соответствующие им усилия. Так решается задача в методе перемещений, где за неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов рамы.

Основные предпосылки метода:

1) как и в методе сил, пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил на перемещения узлов рамы, учитывают влияние только изгибающих моментов;

2) из-за малости деформаций изгиба, пренебрегают изменением длин стержней за счет искривления их осей;

3) в общем случае нагрузки узлы рамы могут поворачиваться и линейно смещаться. Считается, что при повороте жесткого узла все примыкающие элементы поворачиваются на один и тот же угол. Элементы, сходящиеся в шарнирном узле, поворачиваются каждый на свой угол, в связи с чем угол поворота шарнирного узла определить не удается;

4) линейные перемещения узлов происходят по дуге окружности, но ввиду их малости считают, что перемещения узлов происходят перпендикулярно к элементу, которому они принадлежат.

19. Степень кинематической неопределимости рам (количество неизвестных)

Степенью кинематической неопределимости называется число неизвестных перемещений, знание которых определяет деформированный вид системы и, следовательно, все усилия в ней. Учитывая сказанное, степень кинематической неопределимости рамы определяется:

 

(1)

здесь: h_j - степень угловой подвижности рамы. Она определяется числом жестких узлов рамы, не считая опорных, т.к. их положение заранее известно. Жестким считается узел, в котором, по крайней мере, два из сходящихся стержней соединены между собой жестко.

h_D - степень линейной подвижности рамы, равна количеству возможных независимых линейных смещений узлов рамы.

20. Основная система метода перемещений. Пример выбора основной системы метода перемещений

После определения числа неизвестных, выбирают основную систему метода перемещений. в методе перемещений в качестве основной системы принимается кинематически определимая система, которая образуется из заданной путем наложения на ее узлы связей, препятствующих упругим перемещениям узлов.

Вводятся связи двух типов:

а) связи первого рода или упруго-податливые защемления, которые не дают узлам возможности поворачиваться, но не препятствуют возможным их линейным смещениям (моментные связи)

Связи первого рода вводятся во все жесткие узлы рамы.

б) связи второго рода или опорные стержни, которые не мешают повороту узлов, но исключают их возможные линейные смещения

Вводят связи второго рода по направлению возможных линейных перемещений узлов.

То есть основная система представляет собой набор отдельных статически неопределимых балок с постоянной жесткостью.

для того, чтобы основная и заданная система были равноценны в смысле деформаций и усилий, необходимо в основной системе связи повернуть на соответствующие углы и придать им линейные смещения как в заданной системе. При этом в дополнительных связях возникнут реактивные усилия. В связях первого рода – реактивные моменты, а в связях второго рода – реакции.

21. Каноническое уравнение метода перемещений

Идея метода: для того, чтобы основная и заданная система были равноценны в смысле деформаций и усилий, необходимо в основной системе связи повернуть на соответствующие углы и придать им линейные смещения как в заданной системе. При этом в дополнительных связях возникнут реактивные усилия. В связях первого рода – реактивные моменты, а в связях второго рода – реакции. Так как в заданной системе дополнительных связей нет, то можно записать условия равноценности: реактивные усилия в дополнительных связях от их перемещения и действия внешней нагрузки должны быть равны нулю, т.е.

,

обозначим

; и т.д.,

где :

– реактивное усилие в связи 1 от единичного смещения связи Z₁=1, т.е. индексы при коэффициентах обозначают

Тогда, система канонических уравнений метода перемещений для систем с двумя неизвестными запишется

Для n-раз кинематически неопределимых систем

(2)

22. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

В основной системе метода перемещений каждый элемент представляет собой статически неопределимую балку

1^е – уравнение называется моментным;

2^е – уравнение - уравнением сдвига.

4) Для определения коэффициентов канонических уравнений необходимо построить единичные и грузовую эпюры. Эпюры строят в основной системе метода перемещений, последовательно задавая единичные смещения всем дополнительным наложенным связям и от действия внешней нагрузки, используя ранее составленную таблицу.

Коэффициенты моментных уравнений, представляющие собой реактивные моменты в дополнительных связях определяют путем вырезания этих дополнительных связей из соответствующих эпюр. К вырезаемой связи прикладывают реактивные моменты, взятые с эпюр и искомую реакцию связи. Искомую реакцию прикладывают так, как задавалось единичное перемещение рассматриваемой связи и затем, записывая равенство моментов в рассматриваемой связи нулю, определяют искомую реакцию.

Коэффициенты уравнений сдвига, представляющие собой реактивные усилия в связях второго рода, определяют, отсекая от рамы элемент, через который передаются реакции на рассматриваемую связь, вдоль которого расположен дополнительный опорный стержень. К отсеченному элементу прикладывают искомую опорную реакцию (по направлению, как задавали единичное перемещение) и реакции стержней, которые проецируются на ось дополнительного стержня.

Из уравнения, в виде суммы проекций всех сил на направление единичного перемещения, определяем величину искомой реакции.

23. Проверки коэффициентов системы канонических уравнений (выполняют довольно редко):

а) универсальная: сумма всех единичных коэффициентов равна результату умножения суммарной единичной эпюры самой на себя:

Суммарную единичную эпюру получают путем сложения всех единичных эпюр:

б) построчная проверка: сумма всех единичные коэффициентов i-го уравнения равна результату умножения суммарной единичной эпюры на .

в) проверка грузовых коэффициентов: сумма всех грузовых коэффициентов равна, взятому с обратным знаком, результату умножения суммарной единичной эпюры на грузовую, построенную для основной системы метода сил:

.

6) Коэффициенты подставляют в систему канонических уравнений и решают ее, определяя неизвестные Z₁, Z₂, ...... Z_n .

24. Особенности расчета рам с непараллельными стойками

В рамах с параллельными стойками, независимо от того горизонтальный ригель или наклонный, линейные смещения узлов равны между собой.

Более сложно определить зависимость между линейными смещениями узлов рам с непараллельными стойками.

Определяют зависимость между линейными смещениями узлов с помощью диаграммы Виллио:

- выбираем точку О – полюс диаграммы, из полюса откладываем независимое смещение D_В2 по направлению перпендикулярно стойке В2 и прямые перпендикулярно А1 и перпендикулярно ригелю 1-2

 

 

D_В-2 2

 

О D₁₂

 

D_А-1 1

 

 

- измеряя полученные отрезки, находим отношения

.

 

И затем строим эпюры. От поворота моментной связи, никаких особенностей в построении эпюр нет

А от линейного смещения учитывают изменение величин узловых моментов коэффициентами k₁₂ и k_1A:

Весь остальной расчет, как в обычном методе перемещений.