Типовое задание аттестационной работы №2
«Функции нескольких переменных и экстремумы» 1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. (2 балла, 1 балл для АК3)
2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия. (6 баллов, 3 балла для АК3)
3. В точке М (2; 1; 1;) найти градиент и производную по направлению функции , если N (0; 2; -1), а также максимальное значение производной по направлению в точке M. (4 балла, 2 балла для АК3)
4. Найти и для функции , заданной уравнением (4 балла, 2 балла для АК3) 5. Найдите условные экстремумы функции при условии . (4 балла) Теоретические вопросы для подготовки к аттестационной работе №2 1. Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества. Область и ее граница. 2. Скалярная ФНП как отображение Rn ® R. Область определения, график функции двух переменных, линии и поверхности уровня. 3. Предел ФНП и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. 4. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки, линии и поверхности разрыва. 5. Полное и частное приращение ФНП. Частные производные ФНП и их геометрическая интерпретация для n = 2. 6. Частные производные ФНП высших порядков. Матрица Гессе. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования (с док-вом). 7. Дифференцируемость ФНП. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал и его геометрический смысл при n = 2. 8. Полный дифференциал ФНП. Необходимые и достаточные условия, при которых дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом (достаточность без док-ва). Интегрирование дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. 9. Дифференцируемость сложной функции. Частная и полная производные. 10. Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка. Дифференциалы высших порядков. 11. Неявные ФНП. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявных ФНП. 12. Производная ФНП по направлению и градиент ФНП (определения, свойства и вывод основных формул). 13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, условия их существования и вывод уравнений. 14. Формулы Тейлора и Маклорена для ФНП. 15. Экстремум ФНП. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума (без док-ва). 16. Условный экстремум ФНП. Целевая функция и уравнения связи. Геометрическая интерпретация при n = 2. 17. Функция Лагранжа. Необходимые условия существования условного экстремума (вывод для n = 2). Достаточные условия (без док-ва). 18. Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП на замкнутом и ограниченном множестве. 19. Векторная функция нескольких переменных (ВФНП) как отображение . Координатные функции. Геометрическая интерпретация для n; m = 2,3. 20. Предел ВФНП. Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных функций. Непрерывность ВФНП в точке и на множестве. 21. Частные и полные приращения, частные производные ВФНП. Теорема о связи частных производных ВФНП и ее координатных функций. 22. Дифференцируемость ВФНП, частные и полный дифференциалы. Матрица Якоби ВФНП, якобиан. Производная сложной ВФНП в матричной форме.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|