Здавалка
Главная | Обратная связь

Типовое задание аттестационной работы №2

«Функции нескольких переменных и экстремумы»

1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. (2 балла, 1 балл для АК3)

 

2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия. (6 баллов, 3 балла для АК3)

 

3. В точке М (2; 1; 1;) найти градиент и производную по направлению функции , если N (0; 2; -1), а также максимальное значение производной по направлению в точке M. (4 балла, 2 балла для АК3)

 

4. Найти и для функции , заданной уравнением (4 балла, 2 балла для АК3)

5. Найдите условные экстремумы функции при условии . (4 балла)

Теоретические вопросы для подготовки к аттестационной работе №2

1. Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества. Область и ее граница.

2. Скалярная ФНП как отображение Rn ® R. Область определения, график функции двух переменных, линии и поверхности уровня.

3. Предел ФНП и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП.

4. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки, линии и поверхности разрыва.

5. Полное и частное приращение ФНП. Частные производные ФНП и их геометрическая интерпретация для n = 2.

6. Частные производные ФНП высших порядков. Матрица Гессе. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования (с док-вом).

7. Дифференцируемость ФНП. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал и его геометрический смысл при n = 2.

8. Полный дифференциал ФНП. Необходимые и достаточные условия, при которых дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом (достаточность без док-ва). Интегрирование дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

9. Дифференцируемость сложной функции. Частная и полная производные.

10. Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка. Дифференциалы высших порядков.

11. Неявные ФНП. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявных ФНП.

12. Производная ФНП по направлению и градиент ФНП (определения, свойства и вывод основных формул).

13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, условия их существования и вывод уравнений.

14. Формулы Тейлора и Маклорена для ФНП.

15. Экстремум ФНП. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума (без док-ва).

16. Условный экстремум ФНП. Целевая функция и уравнения связи. Геометрическая интерпретация при n = 2.

17. Функция Лагранжа. Необходимые условия существования условного экстремума (вывод для n = 2). Достаточные условия (без док-ва).

18. Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП на замкнутом и ограниченном множестве.

19. Векторная функция нескольких переменных (ВФНП) как отображение . Координатные функции. Геометрическая интерпретация для n; m = 2,3.

20. Предел ВФНП. Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных функций. Непрерывность ВФНП в точке и на множестве.

21. Частные и полные приращения, частные производные ВФНП. Теорема о связи частных производных ВФНП и ее координатных функций.

22. Дифференцируемость ВФНП, частные и полный дифференциалы. Матрица Якоби ВФНП, якобиан. Производная сложной ВФНП в матричной форме.

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.