I. Математический анализ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ

1. Числовые бесконечные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей.

2. Определение конечного предела функции в точке. Арифметические операции над конечными пределами.

3. Пределы функции на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, понятие о неопределенности. Основные теоремы о пределах.

4. Два замечательных предела, число Эйлера, натуральные логарифмы.

5. Правые и левый пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификация.

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1. Односторонние производные в точке. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной, уравнение касательной к плоской кривой.

2. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.

3. Теорема о производной сложной функции. Вывод производных от тригонометрических функций.

4. Понятие об обратной функции. Теорема о производной от обратной функции. Вывод производных от обратных тригонометрических функций.

5. Вывод производных от показательных и логарифмических функций.

6. Вывод производной от степенной функции. Дифференцирование показательно-степенной функции.

7. Понятие о дифференциале функции. Связь дифференциала с производной. Свойства дифференциала, таблица дифференциалов. Применение дифференциала к приближенным вычислениям значений функций.

8. Производные высших порядков. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

1. Возрастающие и убывающие функции на промежутке. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции на промежутке.

2. Локальные минимумы и максимумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Глобальные свойства непрерывных функций. Глобальный экстремум.

3. Выпуклые и вогнутые функции на промежутке, точка перегиба. Достаточные условия выпуклости и вогнутости на промежутке.

4. Ограниченные и неограниченные функции. Периодические функции. Четные и нечетные функции. Асимптоты графика функции. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

5. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его основные свойства.

2. Таблица неопределенных интегралов и ее связь с таблицей производных.

3. Независимость неопределенного интеграла от выбора аргумента. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

4. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

5. Интегрирование простейших рациональных дробей.

6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

7. Интегрирование тригонометрических функций.

8. Определенный интеграл, его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Метод замены переменной и метод интегрировании по частям в определенном интеграле.

10. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площадей криволинейных трапеций.

11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от функций, имеющих разрывы на промежутке интегрирования.