 |
|
Теоретичні відомості з інтерполяції та апроксимації функцій, заданих таблично.
У процесі пошуку закономірностей протікання явищ та процесів в інженерній практиці виникає задача відшукання за даними спостережень аналітичних залежностей одного параметра від іншого. Загальна постановка цієї задачі може бути наступна: - відомо, що між х та y існує функціональна залежність. В результаті експерименту отримана таблиця значень y0(x0), y1(x1), y2(x2) ,…, yn(xn). Необхідно знайти функцію, яка б наближено описувала зв’язок між х та y. В багатьох випадках в якості емпіричної залежності вибирається многочлен вигляду y=a0+a1x+…+amxm. Однак, незалежно від виду апроксимуючої функції, виникає задача визначення таких її параметрів, які б найкращим чином узгоджувались з експериментальними даними. Одним з таких ефективних методів являється метод найменших квадратів. Суть методу в тому, що є залежність f(x,a0,a1…am), близька до заданої сукупності значень хi,yi в сенсі мінімуму квадратичного відхилення:
R=S(f(xi,a0,a1,…am)-yi)2, i=1,2,..n (1.1)
а відхилення апрoксимуючої функції від експериментальних значень
ei= f(xi,a0,a1,…am)-yi,,i=1,2,..n (1.2)
Тоді задача полягає у виборі сукупності параметрів a0,a1,…am, при яких значення критерія (4.1) являється мінімальним. Необхідною умовою мінімуму критерія (4.1) являється рівенство нулю всіх частинних похідних функції R по параметрах a0,a1,…am, тобто,
(∂R/∂a0)=0, (∂R/∂a1)=0,…, (∂R/∂am)=0 (1.3)
Розв’язуючи систему рівнянь (1.3) знаходимо значення a0,a1,…am які будуть коефіцієнтами шуканої залежності.
Лінійне наближення має вигляд y=a0+a1x. коефіцієнти якого знаходять зі слідуючої системи рівнянь:
(n+1)a0+ a1S xi=S yi
a0S xi + a1S x2i=S xi yi
Квадратичне наближення має вигляд y=a0+a1x+a2x2. Коефіцієнти a0,a1,a2 обчислюються з системи рівнянь:
a0 (n+1) + a1S xi+ a2S x2i =S yi
a0S xi + a1S x2i+ a2S x3i =S xi yi
a0S x2i+ a1S x3i+ a2S x4i =S x2i yi
Задача апроксимації – перехід від таблично заданої функції
y0(x0),y1(x1),y2(x2) ,…, yn(xn)
до стандартного математичного представлення:
y=a0φ0(x)+ a1φ1(x)+…+ anφn(x),
де φі(x) - попередньо задані (базисні) функції;
аі - коефіцієнти розвинення функції у(х) по обраному базису.
В залежності від вигляду φі(x) розрізняють:
- поліноміальну апроксимацію (φі(x)=хі);
- гармонічну апроксимацію (φі(x)=sin(iωx+αi)).
Частіше всього вимагається мінімізація середньоквадратичної похибки апроксимації (апроксимація за методом найменших квадратів) або співпадіння вихідної та апроксимуючої функцій в точках x0,x1,…,xn (інтерполяція). Широко відоме розвинення функції в ряд Фур’є
Y(x)=A0 + B1s sinωx + B1c cosωx +…+ Bks sinkωx + Bkc coskωx +…
яка являє собою гармонічну апроксимацію за методом найменших квадратів, а представлення функції поліномом Лагранжа
являється поліноміальною інтерполяцією.