Тема 6. Неявные функции.

1.1. Функция, заданная таким способом: y=f(x) [или y=f(x₁, x₂,…,x_m)] называется неявной ф-ей и является решением уравнения F(x,y)=0 [или F(x₁, x₂,…,x_m,y)=0]относительно у (т.е. [или F(x₁, x₂,…,x_m, f(x₁, x₂,…,x_m))=0])
1.2.
1.3. Функции называются зависимыми в области D, если одна из них (безразлично какая) зависит в области D от остальных функций. [Функция называется зависимой в области D от остальных функций из совокупности, если ее можно представить в виде: , где Ф – дифференциуемая ф-я своих аргументов]
1.4. Функции называются независимыми в области D, если ни одна из них не зависит в области D от остальных функций. [Функция называется независимой в области D от остальных функций из совокупности, если ее нельзя представить в виде: , где Ф – дифференциуемая ф-я своих аргументов]

2.1. Теорема о существовании и непрерывности ф-ии y=f(x), заданной неявно ур-ем F(x,y)=0. Пусть 1) ф-я F(x,y) непрерывна в прямоугольнике Q={(x,y):a<x<b, c }; 2) (т.е. на нижней и верхней сторонах прямоугольника Q ф-я F(x,y), имеет значения разных знаков); 3) ф-я F(x,y) является строго монотонной ф-ей аргумента у на сегменте [c,d]. Тогда на (a,b) существует единственная неявная ф-я, определяемая ур-ем F(x,y)=0, и эта ф-я непрерывна на (a,b).
2.2. Теорема о дифференцируемости ф-ии y=f(x), заданной неявно ур-ем F(x,y)=0. Пусть: 1)ф-я F(x,y) дифференцируема в некоторой окрестности W точки Мо(х₀,у₀); 2) частная производная Fy непрерывна в точке Мо; 3)F(x₀,y₀)=0, Тогда существует такой прямоугольник , в котором ур-е F(x,y)=0 определяет единсвенную неявную ф-ю вида y-f(x), причем f(x₀)=y₀, ф-я f(x) дифференцируема на интервале ( и ее производная вычисляется по формуле .
2.3.
2.4.
2.5. Теорема о существовании и дифференцируемости ф-ий y и z, заданных неявно сисемой. Пусть 1)ф-ии F и G, входящие в систему, дифференцируемы в некоторой окрестности W точки ; 2) частные производные непрерывны в точке Мо; 3)F(Mo)=0, G(Mo)=0, Тогда существует такой параллелепипед , в котором система уравнений определяет единственную совокупность неявных ф-ий, и эти ф-ии дифференцируемы при
2.6. Теорема о достаточных условиях независимости ф-ии.
Пусть ф-ии , где n m, дифференцируемы в некоторой окрестности точки и пусть якобиан этих ф-ий по каким-либо переменным не равен 0 в точке М₀. Тогда эти ф-ии независимы в .
2.7. Теорема о зависимости и независимости ф-ий.
Пусть: 1) ф-ии дифференцируемы в окрестности точки , а частные производные непрерывны в т М₀; 2) функциональная матрица А (матрица из частных производных ф-ий ) имеет минор r-го порядка, неравный 0 в точке М₀; 3) все миноры r+1 ранга матрицы А (если такие имеются) равны 0 в w.
Тогда r ф-ий, представленных в указанном миноре r-го порядка, независимы в w, а каждая из остальных ф-ий зависит в некоторой окрестности т. М₀ от этих r ф-ий.
Тема 8. Кратные интегралы.
1.1. Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань множества площадей всех вписанных многоугольных фигур равна точной нижней грани множества площадей всех описанных многоугольных фигур.
1.2. Площадь криволинейной трапеции. , [ограничена непрерывными кривыми y=f₁(x), y=f₂(x), a (где , и двумя отрезками прямых х=а, x=b.]
1.3. Сумма называется интегральной суммой ф-ии f(x,y), где G – квадрируемая область; u=f(M)=f(x,y) – ограниченная ф-я, определенная на G; G_i (i= ) – разбиение области G, такое что 2 любые части не имеют общих внутренних точек; – произвольная точка в G_i.
1.4. Число I называется пределом интегральных сумм при d -> 0, если такое, что для любого разбиения области G, у которого d< , и для любого выбора промежуточных точек M_i выполняется неравенство | .

2.1. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному.
Пусть: 1) двойной интеграл ; 2) существует определенный интеграл . Тогда существует определенный интеграл (он называется повторным)и справедливо равенство , т.е. двойной интеграл равен повторному.
2.2. Теорема о формуле для замены переменной в двойном интеграле.
Пусть g и G – замкнутые квадрируемые области, функция f(x,y) ограничена в области G и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек площади нуль, а отображение удовлетворяет условиям :1)отображение взаимно однозначное; 2) ф-ии и имеют в области g непрерывные частные производные первого порядка; 3) якобиан отображения отличен от нуля во всех точках области g. Тогда справедливо равенство: .
2.3. Теорема о сведении тройного интеграла к повторному.
Пусть 1) Существует тройной интеграл 2) существует определенный интеграл . Тогда существует двойной интеграл (он называется повторным и справедливо равенство , т.е. тройной интеграл равен повторному.
2.4. Теорема о формуле замены переменных для тройного интеграла.
Пусть и Т – замкнутые кубируемые области, ф-я f(x,y,z) ограничена в области Т и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объема 0, а отображение удовлетворяет условиям: 1) отображение взаимнооднозначно; 2)ф-ии имеют в области непрерывные частные производные первого порядка; 3) Якобиан отображения отличен от 0 в области . Тогда справедливо равенство:
2.5. Масса и координаты центра тяжести. . , где – плотность, Т – материальное тело.
2.6. Моменты инерции плоской фигуры.
- относительно координатных плоскостей Oyz, Ozx, Oxy.
– относительно осей координат Ох, Оy, Oz.
- относительно начала координат.

4.1.
4.2.

Тема 7 Условный экстремум

1.1 Говорят, что функция ,.., имеет в точке условный минимум(максимум) при условиях связи , если существует такая окрестность точки что для любой точки этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям , выполняется неравенство )

1.2 Задача об условном экстремуме функции ,.., при условиях связи эквивалентна задаче об условном экстремуме функции Лагранжа ( при тех же условиях связи,поскольку в точке M, удовлетворяющих уравнениям связи, справедливо равенство Ф(M)=f(M).

2.1 Необходимые условия Лагранжа условного экстремума.

Пусть :1) Функция ,.., дифференцируема в точке и имеет в этой точке условный экстремум при условиях связи ;2) уравнения удовлетворяют в некоторой окрестности точки условиям теоремы Теорема о дифференцируемости ф-ии z=f(x,y), заданной неявно ур-ем F(x,y,z)=0. Пусть: 1) функция F( =F(M) дифференцируема в некоторой окрестности W точки Mo( 2) частная производная F_y непрерывна в точке ; 3) F(M₀)=0, Тогда существует такой параллелепипед в котором ур-е F(x,y,z)=0 определяет единственную неявную ф-ю y=f( , причем f( , функция y=f( дифференцируема при и ее частные производные вычисляются по формуле . (i=1,2,…,m).

Тогда существуют числа , такие что все частные производные первого порядка функции Лагранжа равны нулю в точке .

1.1.
1.2.
1.3. Функции называются зависимыми в области D, если одна из них (безразлично какая) зависит в области D от остальных функций. [Функция называется зависимой в области D от остальных функций из совокупности, если ее можно представить в виде: , где Ф – дифференциуемая ф-я своих аргументов]
1.4. Функции называются независимыми в области D, если ни одна из них не зависит в области D от остальных функций. [Функция называется независимой в области D от остальных функций из совокупности, если ее нельзя представить в виде: , где Ф – дифференциуемая ф-я своих аргументов]

Тема 10 Поверхностные интегралы

1.1 Определение площади поверхностью.

Число S называется пределом сумм при , если такое, что для любого разбиения поверхности Ф , у которого d< , и для любого выбора точек выполняется неравенство |S( . Если существует , то поверхность Ф называется квадрируемой, а число S – площадью поверхности Ф.

1.2 Пусть на квадрируемой поверхности Ф определена функция . Разобьем Ф кусочно гладкими кривыми на n квадрируемых частей. На каждой части выберем произвольную точку ,и составим интегральную сумму , где . Пусть .

Число называется пределом интегральных сумм I( при такое, что для любого разбиения Ф, у которого , и для любого выбора точек выполняется неравенство |( |< . Предел интегральных сумм называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности Ф и называется или

1.3 Если поверхность ограничивает некоторое тело, то у него различают внешнюю и внутреннюю стороны. Примером такой поверхности является сфера. Если поверхность задача уравнением , то у нее различают верхнюю и нижние стороны. Указанные поверхности имеют две стороны. Также существуют односторонние поверхности.

Если каждой точке M области G поставлен в соответствие вектор a(M), то говорят, что в области G задано векторное поле. Векторное поле a(M)= называется непрерывным в области G , если его координаты- функции - являются непрерывными в области G. Гладкая поверхность Ф в каждой внутренней точке M имеет нормаль N(M), причем существует окрестность этой точки, вырезающая часть поверхности, на которой поле нормалей непрерывно. Если можно задать векторное поле нормалей, непрерывное на всей поверхности, то такая поверхность называется двусторонней. Поверхность, на которой не существует непрерывного вектора нормалей, называется односторонней.

Двусторонняя поверхность Ф характеризуется следующем свойством: для любой точки M и для любого замкнутого контура, проходящего по поверхности Фи не пересекающегося с границей поверхности , выбранное в точке М направление нормали, непрерывно меняясь при движении точки по контуру, не изменит своего направления(на противоположное) при возвращении в точку М.

На односторонней поверхности существует такой контур, при обходе которого направление нормали изменится на противоположное.

На каждой двусторонней поверхности можно два непрерывных поля нормалей, противоположных по направлению: N(M) и –N(M). Выбор одного из этих полей называется выбором стороны поверхности. Т.О. двусторонняя поверхность имеет две стороны. Двусторонние поверхности называются также ориентируемыми, а выбор определенной стороны (выбор одного из полей) называется ориентацией поверхности. НАПРИМЕР: плоскость, сфера, гиперболоиды-двусторонние поверхности, лист Мёбиуса-односторонняя поверхность.

1.4 Пусть Ф- гладкая и кусочно гладкая ограниченная поверхность. Выберем одну из ее сторон, определяемую полем нормалей N(M). Пусть составляет с осями координат, и пусть на поверхности Ф заданы три функции P(M),Q(M),R(M).

Поверхностные интегралы первого рода

,
,

, называют поверхностным интегралом второго рода соответственно от функций P,Q,R по выбранной стороне поверхности Ф. Они обозначаются:

2.1Запишите формулу площади поверхности, заданной уравнением

z = h (x,y), (x,y) D , и сформулируйте условия ее применимости.

Если область G ограничена и замкнута, ее границей является кусочно гладкая кривая без самопересечений, функция f(x,y) непрерывно дифференцируема в области G

2.2 Гладкая параметрически заданная поверхность, не имеющая особых точек, квадрируема, и ее площадь S выражается формулой , где

, , (u,v)

E,G,F определяются

Справедливо:

Формулу можно записать в виде dudv

2.3 Поверхность Ф является графиком непрерывно дифференцируемой функции z=z(x,y),(x,y)

2.4 Пусть Ф-гладкая поверхность,не имеющая особых точек,заданная параметрически уравнением (u,v) , и пусть f(x,y,z) непрерывна на Ф,тогда

E,G,F определяются

2.5 , S задана в виде z=z(x,y) (x,y)

(Такие обозначение связаны с тем,что элемент площади dydz можно рассматривать как площадь проекции элемента поверхности с площадью dS на координатную плоскость Oyz, т.е dxdy=

2.6 Поверхностный интеграл второго рода , по выбранной стороне поверхности Ф является интегралом первого рода соответственно от функции,

Пусть гладкая двусторонняя поверхность Ф задана параметрически уравнением

(u,v) и не имеет особых точе.Выберем ту сторону поверхности,на которой N(M) = .Тогда находим

И получаем

2.7 Запишем общий поверхностный интеграл второго рода:

В виде:

Направляющие косинусы , являются координатами единичного вектора нормали n(M) к поверхности Ф в точке М.

Такие обозначение связаны с тем,что элемент площади dydz можно рассматривать как площадь проекции элемента поверхности с площадью dS на координатную плоскость Oyz, т.е dxdy= , dydz=dScos

Тема 9. Криволинейные интегралы.
1.1. Длиной кривой L называется предел длин ломаных, вписанных в кривую при (кривая задается параметрически уравнениями
1.2. Число I называется криволинейным интегралом 1 рода от ф-ии f(x,y) по кривой L, если существует предел и обозначается . (где .
1.3. Число I₁ называется криволинейным интегралом 2 рода, если предел и обозначается следующим образом: (где - интенральная сумма).
1.4. Число I₂ называется криволинейным интегралом 2 рода, если предел и обозначается следующим образом: (где - интенральная сумма).

2.1.
2.2. Вычисление криволинейного интеграла с помощью определенного.
Если L – кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями и ф-я f(x,y) кусочно непрерывна вдоль кривой L, то существует криволинейный интеграл и справедливо равенство: .
[Если L задана уравнениями y=y(x), y(x) имеет непрерывную производную на [a,b]: ]; [Если кривая L задана в полярных координатах уравнением r=r имеет непрерывную производную на [ ]: ]; [для гладкой пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями : ]
2.3. Вычисление криволинейного интеграла с помощью определенного
Если АВ – кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями , а ф-я Р=Р(х,у) кусочно непрерывна вдоль кривой АВ, то существует интеграл и справедливо равенство: .
2.4. Вычисление криволинейного интеграла с помощью определенного
Если АВ – кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями , а ф-я Q=Q(х,у) кусочно непрерывна вдоль кривой АВ, то существует интеграл и справедливо равенство: .
2.5.
2.6. Связь криволинейного интеграла первого и второго рода.
Пусть АВ – кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями , ф-ии Р=Р(х,у) и Q=Q(х,у) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ и - единичный касательный вектор к кривой АВ в т. М(х,у), причем направление соответствует направлению движения от А к В ( - угол между вектором в т. М(х,у) и осью Ох). Тогда имеет место равенство: , где а=Р(х,у)i+Q(x,y)j.
2.7. Теорема о формуле Грина.
Пусть ф-ии P(x,y), Q(x,y) и их частные производные непрерывны в простой области G. Тогда справедливо равенство: где криволинейный интеграл берется по границе L области G в положительном направлении.
2.8. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.