Главная | Обратная связь

Мішаний добуток векторів

 

Означення.Мішаним добутком векторів називається скалярний добуток вектора на вектор , тобто .

Звернемо увагу на те, що мішаний добуток векторів є скалярною величиною, а не векторною.

Легко встановити формулу для мішаного добутку, якщо вектори задано своїми координатами. Дійсно, нехай , , . Тоді

.

 

1. Якщо у мішаному добутку змінити місцями будь які два множники, то

мішаний добуток змінить знак на протилежний. Наприклад:

.

Це випливає з того, що якщо у визначнику змінити місцями два рядки, то визначник змінить знак на протилежний.

2. Мішаний добуток не змінюється при так званій циклічній переста-

новці, тобто:

 

(перший множник переставляється в кінець). Дійсно, це еквівалентно тому, що рядки у визначнику змінюються місцями два рази, а тоді у наслідку визначник залишається незмінним.

3. У мішаному добутку знаки векторного та скалярного добутків можна

міняти місцями, тобто:

.

Дійсно, .

З’ясуємо геометричний зміст мішаного добутку. Нехай вектори зведено до одного початку. Побудуємо на цих векторах паралелепіпед (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

 

, де – висота паралелепіпеда. Маємо:

.

Отже:

.

Таким чином, модуль мішаного добутку векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах .

Приклад. Знайти об’єм тетраедра, заданого вершинами , , .

Шуканий об’єм дорівнює шостій частині об’єму паралелепіпеда, який побудовано на векторах , тобто

.

Маємо: .

.

Отже: .

Теорема.Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Доведення.Необхідність. Нехай – компланарні вектори. Позначимо як площину, у якій лежать ці вектори (без обмеження загальності можна вважати, що всі три вектори лежать саме в одній площині, внаслідок можливості паралельного переноса векторів). Тоді вектор перпендикулярний площині , а оскільки , то перпендикулярній , отже .

Достатність. Нехай . Тоді вектори і перпендикулярні. Але вектор перпендикулярній векторам і , отже вектори – компланарні.

Ця теорема узгоджується з геометричним змістом мішаного добутку: якщо вектори компланарні, то об’єм побудованого на них паралелепіпеда очевидно дорівнює нулю.

Приклад. Довести, що точки , , лежать в одній площині.

Точки лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли вектори – компланарні. Знайдемо:

.

,

отже вектори – компланарні, і таким чином потрібне доведено.