 |
|
Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності площин
Розглянемо дві площини 
та 
, які задано відповідно рівняннями:
,
.
Двогранний кут 
між цими площинами вимірюється лінійним кутом між перпендикулярами, проведеними у кожній з площин до лінії перетину цих площин (рис. 36).
Рис. 36
Легко зрозуміти, що цей кут буде співпадати з кутом між нормальними векторами 
цих площин. А тоді згідно з формулою кута між векторами (див. п.8) маємо:
.
Якщо площини паралельні, то вектори 
та 
колінеарні, і згідно з умовою колінеарності векторів (див. п.7) маємо умову паралельності площин:
.
Якщо площини перпендикулярні, то 
, і тоді:
.
Приклад. Знайти кут між площинами 
і 
.
За формулою кута між площинами маємо:
.
Отже дані площини перпендикулярні.
Рівняння площини, що проходить через три задані точки
Згідно з аксіомою елементарної геометрії через кожні три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і тільки одну.
Нехай задано три точки 
. Побудуємо рівняння площини, що проходить через ці точки. Нехай 
– довільна точка цієї площини. Тоді вектори 
компланарні, а тоді згідно з необхідною і достатньою умовою компланарності (п. 10), мішаний добуток цих векторів дорівнює нулю, отже:
. (*)
Це й є рівняння площини, що проходить через точки 
.
Зауважимо, що його можна отримати ще іншим шляхом. Якщо ми маємо два ненульові і неколінеарні вектори, що лежать у площині, то у якості нормального вектора площини можна взяти векторний добуток цих векторів. У нашому випадку вектори 
та 
лежать у площині, отже нормальний вектор площини:
, де
.
Оскільки точка 
належить площині, то рівняння площини має вигляд:
.
Підставляючи сюди вирази для 
, отримуємо рівняння (*).
Приклад. Написати рівняння площини, що проходить через точки 
, 
.
Згідно з рівнянням (*) маємо:
.
Або:
.