Здавалка
Главная | Обратная связь

Пряма лінія у просторі



 

У розділі «Аналітична геометрія на площині» ми зустрічалися з рівнянням прямої лінії на площині:

.

А який вигляд буде мати рівняння прямої у просторі? Здавалось би, треба просто додати до попереднього рівняння третю змінну:

.

Але у просторі таке рівняння, як ми знаємо, буде описувати площину, а не пряму лінію. А рівняння прямої лінії буде отримуватись інакше.

Нехай у ПДСК у просторі задано деяку точку і вектор (рис. 38). Побудуємо рівняння прямої лінії , що проходить через точку паралельно вектору , який будемо називати напрямним вектором прямої . Зрозуміло, що така пряма визначатиметься єдиним чином. Зауважимо у зв’язку з цим, що такої єдиності не було б, якби ми задали вектор не паралельній прямій, а перпендикулярній їй, як ми це робили у випадку прямої лінії на площині, або площини у просторі.

 

Рис. 38

 

 

Візьмемо на прямій довільну точку . Вектор колінеарний вектору , і згідно з умовою колінеарності векторів: . Позначимо , тоді , і ми отримуємо рівняння , або:

.

Це рівняння називається векторним параметричним рівнянням прямої лінії у просторі. Якщо його розписати по компонентах, то матимемо:

.

Ці рівняння називаються скалярними параметричними рівняннями прямої лінії у просторі. Змінна називається параметром. Якщо її виразити з усіх трьох рівнянь і дорівняти праві частини, то матимемо:

.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями прямої лінії у просторі. Зауважимо, що деякі знаменники в цьому рівнянні можуть бути нулями. Це буде означати, що деякі з координат напрямного вектора дорівнюють нулю. Але всі три числа бути водночас нулями не можуть, адже це означало б, що вектор – нульовий, отже він не мав би ніякого напряму, і тому не міг би бути напрямним. Якщо, зокрема, , то вектор перпендикулярний осі , тому рівняння

визначає пряму, також перпендикулярну осі . Аналогічно рівняння, де лише , або лише , визначають прямі, які перпендикулярні відповідно до осі , або осі .

Якщо , , то пряма паралельна осі . Якщо , , то пряма паралельна осі , якщо , то пряма паралельна осі .

Легко написати канонічне рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та . Зрозуміло, що у цьому випадку у якості напрямного вектора прямої можна взяти вектор , який має координати , , . Таким чином рівняння такої прямої має вигляд:

.

Крім задання прямої за допомогою точки, через яку вона проходить, та її напрямного вектора, пряму можна задати як лінію перетину двох площин. Нехай площина задається рівнянням , а площина – рівнянням . Будемо припускати, що серед визначників

хоч би один відмінний від нуля. Тоді площини та перетинаються по прямій, яку позначимо через (рис. 39).

 

 

Рис. 39

 

Координати будь якої точки прямої задовольнятимуть системі 2-х лінійних алгебраїчних рівнянь з 3-ма невідомими:

Знаходячи хоча б один розв’язок цієї системи (його існування гарантується відмінністю від нуля хоча б одного з вищенаведених визначників), ми знайдемо точку, через яку проходить пряма . Напрямний вектор прямої паралельний обом площинам , отже він перпендикулярний нормальним векторам цих площин, отже площині , у якій лежать ці нормальні вектори. А тоді в якості вектора можна взяти векторний добуток векторів та :

.

Приклади.

1. Написати канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку

перпендикулярно площині .

Нормальний вектор буде паралельний прямій, отже його можна взяти у якості напрямного вектора прямої. Канонічне рівняння прямої матиме вид:

.

2. Написати канонічне рівняння прямої , яка є лінією перетину площин:

Знайдемо розв’язок системи:

Визначник , що відповідає змінним цієї системи, відмінний від нуля, отже змінну визначимо довільно (наприклад ), а визначимо з системи:

Звідси . Отже точка лежить на прямій . Знайдемо напрямний вектор:

.

Можна взяти в якості напрямного вектор . Отже рівняння прямої :

.

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.