Поверхні другого порядку

Як ми вже відмічали, площина являється поверхнею першого порядку, її рівняння лінійне відносно . Якщо поверхня описується рівнянням 2-го порядку відносно , тобто рівнянням вигляду:

то така поверхня називається поверхнею 2-го порядку. При цьому припускається, що принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля (у протилежному випадку ми отримуємо поверхню 1-го порядку, тобто площину).

Розглянемо деякі важливі типи поверхонь 2-го порядку.

1. Циліндричні поверхні. Циліндричною називають поверхню, утворену множиною прямих (твірних), які перетинають задану лінію (напрямну) і паралельні заданій прямій .

Ми обмежимось випадком, коли напрямні лежать в одній з координатних площин, а твірні паралельні координатній осі, перпендикулярній цій площині. Наприклад, напрямна лежить в площині , а твірні паралельні осі (рис. 42).

Рис. 42

Якщо в площині лінія описується рівнянням

то саме таке рівняння буде описувати у просторі циліндричну поверхню , напрямною якої є лінія , а твірні паралельні осі . Дійсно, якщо – точка цієї поверхні, то координати будуть збігатися з координатами точки на лінії , а координата буде довільною.

Приклади. 1). Круговий циліндр. Це поверхня, що визначається рівнянням:

Її напрямною є коло на площині (рис. 43).

Рис. 43

2). Еліптичний циліндр.

Напрямною є еліпс (рис. 44).

Рис. 44

3). Параболічний циліндр.

Напрямною є парабола (рис. 44).

Рис. 44

2. Конічні поверхні. Конічною називається поверхня, яку утворено множиною прямих, що проходять через задану точку і перетинають задану лінію (рис. 45). При цьому називається вершиною поверхні, лінія – напрямною, а кожна з прямих, що утворюють поверхню – твірною.

Рис. 45

Приклади. 1). Еліптичний конус.

Вершиною є точка , а напрямною еліпс

в площині (рис. 46).

Рис. 46

Якщо, зокрема , то маємо круговий конус , напрямною якого є коло у площині . Цей конус можна отримати обертанням графіка функції навколо осі ординат.

3. Еліптичний параболоїд. Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка описується рівнянням:

Перерізи цієї поверхні будь якою площиною є еліпсами:

Зокрема, якщо , то отримуємо еліпс з півосями і . Перерізи поверхні площинами та є параболами відповідно та (рис. 47).

Рис. 47

Якщо, зокрема , то отримуємо параболоїд обертання:

Його можна отримати обертанням параболи навколо осі ординат.

4. Однопорожнинний гіперболоїд. Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, що описується рівнянням:

Розглянемо перерізи цієї поверхні площинами :

Позначаючи , отримаємо:

тобто еліпси з півосями і . Зокрема при (тоді ) півосі дорівнюють і (горловий еліпс). Таким чином горизонтальні перерізи нашої поверхні площинами є еліпсами. Півосі цих еліпсів збільшуються зі зростанням .

Розглянемо тепер перерізи поверхні площинами :

Позначаючи , отримаємо:

тобто гіперболи з півосями , . Зокрема при (тобто площина ) буде , і маємо:

тобто гіпербола з півосями . Аналогічно перерізи поверхні площинами також уявляють собою гіперболи. Поверхня має вигляд, який показано на рис. 48.

Рис. 48

Однопорожнинний гіперболоїд має цікаву властивість: наявність прямих, які цілком лежать на цій поверхні (прямолінійні твірні). Через кожну точку гіперболоїда проходить дві прямі, рівняння яких можна отримати наступним чином. Запишемо рівняння поверхні так:

Розкладемо обидві частини на множники:

. (*)

Тепер розглянемо пряму лінію, яку задано рівняннями:

(**)

де – деякі числа. Координати кожної точки прямої задовольняють обидва рівняння, отже їх добуток, тобто рівняння (*). Тому всі точки прямої лінії з рівняннями (**) лежать на однопорожнинному гіперболоїді. Такі ж міркування можна провести і для сім’ї прямих:

Всі ці прямі проходять через горловий еліпс гіперболоїда (рис. 48).

У зв’язку з цим однопорожнинний гіперболоїд називається лінійчатою поверхнею. Така його властивість використовується в архітектурі, зокрема в Шуховській вежі в Москві.

5. Двопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка визначається рівнянням:

Розглянемо перерізи цієї поверхні площинами . Матимемо:

Звідси , тобто або . Позначаючи , дістаємо рівняння:

тобто еліпс з півосями і . Перерізи поверхні площинами або є гіперболами (встановіть самостійно). Поверхня має вигляд, зображений на рис. 49.

Рис. 49

6. Гіперболічний параболоїд. Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка визначається рівнянням:

Перерізи поверхні площинами є гіперболами, а площинами – параболами. Поверхня має форму сідла (рис. 50).

Рис. 50

7. Сфера. Сферою називають множину всіх точок простору, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром сфери (рис. 51). Рівняння у ПДСК сфери з центром у точці і радіусом ми отримали в п. 11:

Якщо, зокрема, центр сфери знаходиться у початку координат, то рівняння набуває вигляду:

Рис. 51

Приклад. Знайти центр і радіус сфери, яку задано рівнянням:

Виділяючи повні квадрати, запишемо рівняння у вигляді:

або

Отже центром сфери є точка , а радіус дорівнює 5.

8. Еліпсоїд. Еліпсоїдом називається поверхня, яка описується рівнянням:

Розглянемо переріз поверхні площинами :

Або, позначаючи , дістаємо:

тобто еліпс з півосями і . Аналогічно еліпси також будуть отримуватись у перерізах поверхні площинами та . Поверхня має вигляд, який показано на рис. 52.

Рис. 52

Числа називаються півосями еліпсоїда. Якщо всі три півосі різні, то еліпсоїд називається триосним. Якщо будь які дві півосі рівні між собою, а третя не співпадає з ними, то еліпсоїд називається двоосним. Форма земної поверхні (геоїд) дуже близька саме до двоосного еліпсоїда. Дві півосі такого еліпсоїда дорівнюють відстані від центра Землі до екватора, а саме 6378245 м, а третя піввісь – відстані від центра Землі до полюсів, а саме 6356853 м (рис. 53).

Рис. 53

Таким чином, екваторіальний радіус Землі приблизно на 21,4 км більше, ніж її полярний радіус . Відстань від центра Землі до точки на земній поверхні на широті може бути знайдено за формулою: