 |
|
Сферична система координат у просторі
ПДСК не єдина можлива система координат у просторі. В багатьох ситуаціях зручніше користуватися іншими.
Нехай 
– довільна точка простору, 
– її декартові координати. Позначимо через 
– проекцію точки на площину 
. Введемо величини:
– довжина вектора 
.
– кут між векторами і 
.
– кут між вектором і віссю 
.
Рис. 54
Величини 
називаються сферичними координатами точки (рис. 54).
Легко встановити зв’язок між сферичними та декартовими координатами точки . Нехай 
– проекція точки 
на вісь 
. З прямокутного трикутника 
маємо:
.
З прямокутного трикутника 
: 
. Отже маємо:
.
Виведемо у сферичних координатах рівняння сфери радіуса 
з центром у початку координат. Її рівняння у ПДСК має вид:
.
Підставляючи сюди вищенаведені вирази декартових координат через сферичні, дістанемо:
.
Тобто:
.
Як бачимо, рівняння набагато простіше, ніж у ПДСК.
Сферична система координат має безпосереднє відношення до географічних координат на сфері, зокрема, на земній поверхні. З рис. 55 видно, що кут 
не що інше, як довгота точки, а кут 
– широта точки. Координата 
фіксована – середній радіус Землі.
Рис. 55
Контрольні запитання
1. Що таке скалярні, що таке векторні величини? Наведіть приклади.
2. Які вектори вважаються рівними?
3. Які вектори називаються колінеарними?
4. За яким правилом здійснюється множення вектора на число? У чому по-
лягає необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів?
5. За якими правилами здійснюється додавання та віднімання векторів?Які
основні властивості лінійних дій над векторами?
6. Як визначається проекція вектора на вісь? Як вона обчислюється? Які ос-
новні властивості проекцій?
7. Які вектори називаються компланарними? Чи можуть бути некомпланар-
ними два вектори?
8. Що називається базисом у просторі?
9. Що таке права і ліва трійка векторів? Який базис називається стандарт-
ним?
10. Що таке декартова система координат у просторі? Що таке прямокутна
декартова система координат (ПДСК) у просторі?
11. Як знайти координати вектора у ПДСК у просторі за координатами його
кінцевої та початкової точок? Як знайти довжину вектора за цими коор-
динатами?
12. Що таке напрямні косинуси вектора? Який основний зв’язок між ними?
13. Як виконуються лінійні дії над векторами в координатній формі? У чому
полягає координатна форма колінеарності векторів?
14. Що називається скалярним добутком векторів? Які основні властивості
скалярного добутку?
15. Як виражається скалярний добуток векторів в координатній формі?
16. У чому полягає умова перпендикулярності двох векторів?
17. Що називається векторним добутком векторів? У чому полягає геомет-
ричний та механічний зміст векторного добутку? Які основні властивості
векторного добутку?
18. Як виражається векторний добуток в координатній формі?
19. Що називається мішаним добутком векторів? У чому полягає геометрич-
ний зміст мішаного добутку?
20. Як виражається мішаний добуток векторів в координатній формі?
21. У чому полягає необхідна і достатня умова компланарності 3-х векторів?
22. Що називається рівнянням поверхні у просторі?
23. Які можливості існують для задання лінії у просторі?
24. Які можливості існують для задання площини у просторі?
25. Наведіть загальне рівняння площини у просторі.
26. Як знайти кут між двома площинами? У чому полягають умови пара-
лельності та перпендикулярності двох площин?
27. Як можна знайти відстань від заданої точки до заданої площини?
28. Які існують види рівнянь прямої лінії у просторі? Наведіть канонічне
рівняння прямої лінії.
29. Як знайти кут між двома прямими? У чому полягають умови паралель-
ності та перпендикулярності двох прямих?
30. Як знайти відстань від заданої точки до заданої прямої?
31. Як знайти кут між прямою лінією та площиною? У чому полягають
умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини?
32. Що називається поверхнею другого порядку? Які існують види таких
поверхонь? Наведіть приклади?
33. Як визначається сфера? Наведіть рівняння сфери, що має заданий центр
і заданий радіус.
34. Що таке сферична система координат у просторі? Якій зв’язок між сфе-
ричними та прямокутними декартовими координатами точки у просторі?
35. Який зв’язок між сферичними координатами та географічними коорди-
натами точки на земній поверхні?