 |
|
Задачі для самостійного розв’язування
1. На трьох некомпланарних векторах 
, 
, 
, побудовано паралелепіпед. Вказати його вектори-діагоналі, які відповідно дорівнюють 
, 
, 
, 
.
2. Вектори 
і 
утворюють кут 
, 
, 
. Знайти 
та 
.
3. Три вектори 
, 
, 
є сторонами трикутника. Через вектори 
, 
і 
виразіть вектори, що збігаються з медіанами 
цього трикутника.
4. Знайти довжину і напрям вектора 
, якщо 
, 
.
5. Знайти координати вектора 
, якщо відомо кути 
, які він утворює
з осями координат 
, і його довжина: 
, 
, 
, 
.
6. Перевірити колінеарність векторів 
, 
і встановити, який з них довший за інший і в скільки разів?
7. Побудувати паралелограм на векторах 
і 
, знайти довжини його діагоналей.
8. Задано вектори 
і 
. Знайти скалярний добуток 
.
9. Обчислити роботу, яку виконує сила 
, коли її точка прикладання переміщується з початку вектора 
в його кінець.
10.Трикутника задано його вершинами 
, 
, 
. Знайти його внутрішні кути.
11. Нехай 
, 
, 
. Обчислити 
.
12. Знайти векторний добуток 
, якщо 
, 
.
13. Розкрити дужки та спростити вираз:
а) 
;
б) 
.
14. Обчислити площу трикутника 
, якщо 
, 
, 
.
15. Силу 
прикладено до точки 
. Знайти момент цієї сили відносно точки 
.
16. Встановити, чи є компланарними вектори 
, 
, 
.
17. Знайти об’єм тетраедра з вершинами у точках 
, 
, 
, 
.
18. Скласти рівняння площини, що проходить через точки 
і 
паралельно осі 
.
19. Скласти рівняння площини, що проходить через точку 
паралельно площині 
.
20. Написати рівняння площини, що проходить через точку 
, і перпендикулярної площинам 
і 
.
21. Написати рівняння площини, що проходить через точки 
, 
, 
.
22. Знайти кут між площинами 
і 
.
23. Знайти відстань від точки 
до площини 
.
24. Обчислити довжину висоти 
піраміди, заданої своїми вершинами 
.
25. Написати рівняння прямої, що проходить через точки 
, 
.
26. Написати канонічне рівняння прямої, що є лінією перетину площин 
і 
.
27. Знайти кут між прямими
і 
.
28. Задано площину 
і пряму
.
Знайти кут між площиною 
і прямою 
, а також точку їх перетину.
29. Знайти відстань від точки 
до прямої
.
30. Довести, що прямі
і 
паралельні, і знайти відстань між ними.
31. Написати рівняння площини, що проходить через пряму
і точку 
.
32. Показати, що прямі
перетинаються, і написати рівняння площини, у якій вони розташовані.
33. Довести, що рівняння
описує сферу, знайти її центр і радіус.
34. Скласти рівняння сфери, вписаної в тетраедр, утворений площинами
.
35. Довести, що рівняння
описує еліпсоїд, знайти його центр і півосі.
36. Твірна циліндра паралельна осі 
, а напрямною є коло 
, 
. Скласти рівняння цього циліндра.
37. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням еліпса
навколо осі 
.
38. Побудувати однопорожнинний гіперболоїд
і знайти його прямолінійні твірні, що проходять через точку 
.
39. Скласти рівняння поверхні, кожна точка якої розміщена вдвічі ближче до точки 
, ніж до точки 
.
40. Знайти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від даної точки і даної площини.
Рекомендована література
1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К., 1993.
2. Призва Г.Й, Плахотник В.В та ін. Вища математика. Основні розді-
ли. – К.,2003.
3. Шипачёв В.С. Высшая математика. – М., 1990.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.,1981
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.,1981
6. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5.–
М.,1998.
Зміст.
1. Скалярні та векторні величини………………………………………3
2. Лінійні дії над векторами…………………………………………….5
3. Проекція вектора на вісь. Основна теорема про проекцію………...8
4. Компланарні та некомпланарні вектори. Базис у просторі………...10
5. Прямокутна декартова система координат у просторі……………..14
6. Довжина і напрям вектора у ПДСК…………………………………16
7. Дії над векторами у координатній формі……………………………18
8. Скалярний добуток векторів…………………………………………20
9. Векторний добуток векторів…………………………………………24
10. Мішаний добуток векторів………………………………………….. 27
11. Поверхні та лінії у просторі………………………………………….30
12. Площина у просторі. Рівняння площини……………………………33
13. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності площин……………………………………………………………..36
14. Рівняння площини, що проходить через три задані точки…………38
15. Відстань від точки до площини………………………………………39
16. Пряма лінія у просторі………………………………………………...41
17. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих………………………………………………………………….45
18. Кут між прямою лінією та площиною. Перетин прямої лінії та площини………………………………………………………………………..47
19. Відстань від точки до прямої………………………………………….49
20. Поверхні другого порядку…………………………………………….51
21. Сферична система координат у просторі…………………………….62
Контрольні запитання……………………………………………….. 65
Задачі для самостійного розв’язування……………………………... 67
Рекомендована література……………………………………………. 70