Главная | Обратная связь Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с. Стр 1 из 4Следующая ⇒ Задача 36   На рисунке представлены графики зависимости координаты двух тел от времени. Графики каких зависимостей показаны? Какой вид имеют графики зависимости скорости и пути пройденного телом, от времени?   Решение На рисунке показаны графики равномерного движения тел. 1) В начальный момент времени t = 0 первое тело имеет начальную координату хо1 = 1 м, второе тело — координату хо2 = 0. 2) Оба тела движутся в направлении оси Х, так как координата возрастает с течением времени. 3) Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид: x=xо+vхt. Тогда для первого, второго тела соответственно: x1=xо1+v1хt и x2=xо2+v2хt или x1=1+v1хt, x2=v2хt. Определим скорости первого и второго тела: v1x = x1 − 1 = 2 − 1 = 0,5 м/с. t   v2x = x2 = = 0,5 м/с. t Уравнения скорости имеют вид: v1х=v2х=0,5 м/с. Так как S=vхt, то уравнение пути S=0,5t. Задача 37 Графики каких движений показаны на рисунке? Как отличаются скорости движения этих тел? В какой момент времени тела встретились? Какие пути тела прошли до встречи?   Решение Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот — возрастает. Первое тело движется против оси х, второе — по направлению оси координат. а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты: vx = x − xo , тогда t   v1x = 3 − 6 м/с = −0.75 м/с.   v2x = 3 − 0 м/с = 0.75 м/с. Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению. б) Зная также, что v=tg α (геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси t, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны. в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи t = 4 c, а координата x = 3 м. г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то S = x − xo. Находим пути, пройденные телами до встречи: S1= | x1 − xo1 | = | (3−6) м | = 3 м, S2= | x2 − xo2 | = | (3−0) м | = 3 м. Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.

Задача 38Точка движется с постоянной скоростью v_o под углом α к оси x. В начальный момент времени t = 0 точка имела координаты (х_o; у_o). Написать уравнения движения точки и уравнение траектории.

Решение (исправлено 25.11.2010):

уравнение движения имеет вид:
x = x_o + v_xt по оси x и
y = y_o + v_yt по оси Y.

Начальные координаты заданы x_o, y_o. Проекции скорости найдем из прямоугольного треугольника АВС:

v_x = −v_ocos α, знак минус указывает на то, что направление проекции вектора скорости не совпадает с направлением оси x;

v_y = v_osin α, проекция скорости положительна, так как направление вектора скорости, совпадает с направлением оси Y.

Тогда, подставляя проекции скоростей в соответствующие уравнения движения, имеем:
x = x_o − v_ot·cos α,
y = y_o + v_ot·sin α.

Решая совместно эти два уравнения, напишем уравнение траектории. Для этого из уравнения движения точки вдоль оси x выразим время и подставим в уравнение движения точки вдоль оси Y:

Задача 39Даны уравнения движения тела: x = v_xt и y = y_o + v_yt. Запишите уравнение траектории и постройте график, если v_x = 25 см/с, v_y = 1 м/с, y_o = 0,2 м.

Решение (исправлено 25.11.2010):

решая совместно уравнения x = v_xt и y = y_o+v_yt,
получим уравнение траектории:

Если теперь мы подставим исходные данные, то уравнение траектории примет вид: y = 0.2 + 4x.

Сравним уравнение траектории с уравнением вида y = kx + b. Проводя аналогию, делаем вывод, что траектория движения тела представляет собой прямую.

Начальное положение точки при x = 0 y_o = 0.2 м, вторую точку возьмем, например, при x = 1 м у = 4.2 м.

Задача 40Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v₁ = 60 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 40 км/ч. Определить среднюю скорость V автомобиля на всем пути.

Решение: проанализируем условие задачи: первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч и затратил время, равное

Вторую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч и затратил время, равное

По определению, средняя скорость V при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Подставляя значения скорости в формулу средней скорости, получим:

Средняя скорость равна 48 км/ч.

Задача 41Первую половину времени автомобиль двигался со средней скоростью v₁ = 40 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение: в отличие от предыдущий задачи, автомобиль движется первую половину времени с одной скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 60 км/ч. Следовательно, автомобиль проходит за равные промежутки времени разные расстояния.

и

тогда средняя скорость

Средняя скорость для этого случая оказалась равной среднему арифметическому значению скоростей.
Подставим значения скоростей и проведем вычисления:

Средняя скорость равна 50 км/ч.

Задача 42Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v₁, а оставшуюся часть пути — со скоростью v₂ = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.

Решение: обозначим весь путь через S; время, затраченное на прохождение первого участка пути, — через t₁; время движения на втором участке пути — через t₂. Очевидно, что

Отсюда

Задача 43Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила V_c = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?

Решение: катер проходит одинаковые отрезки пути с разной скоростью, следовательно, будет разным и затраченное время. Примем скорость на втором участке пути за v, тогда на первом участке скорость 2v. Средняя скорость на всем пути:

где

Подставляем в формулу средней скорости время:

Из последней формулы выразим скорость второго участка пути:

Задача 44Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.

Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v₁=v_k+v_T. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v₂=v_k−v_T. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

Упрощая эти уравнения, находим, что v_k=2v_T (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

Здесь учтем (1), тогда

отсюда находим скорость течения: v_T = (2/3)V, а v_k = (4/3)V.
После вычислений окончательно имеем: v_T = (2/3)3 = 2 км/ч и v_k = (4/3)3 = 4 км/ч.

Задача 45Пассажир едет в поезде, скорость которого 80 км/ч. Навстречу этому поезду движется товарный поезд длиной 1 км со скоростью 40 км/ч. Сколько времени товарный поезд будет двигаться мимо пассажира?

Решение:
1-й способ. Cистему отсчета свяжем с Землей. Наблюдатель находится в точке O с координатой x = 0. Координата хвоста товарного поезда x_T = 1 км. Уравнение движения обоих тел имеет вид: x₁ = v₁t и x₂ = x_T − v₂t. В момент встречи хвоста поезда с пассажиром x₁ = x₂ или v₁t = x_T − v₂t, отсюда время встречи равно

2-й способ. Свяжем систему координат с товарным поездом, тогда скорость пассажира в поезде, по отношению к неподвижной системе координат (товарный поезд), равна v_o=v₁+v₂. Так как длина поезда l=1 км, то пассажир проедет мимо него, следовательно, и будет наблюдать в течение времени

После подстановки t = 30 c.

Задача 46Формула x=20t. Необходимо:

1. определить характер движения;
2. найти начальную координату точки;
3. выявить модуль и определить направление скорости;
4. найти графический и аналитический смысл x через 15 секунд;
5. определить время (t), когда x=100 м.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 24 сентября 2007 года.

Решение:

1. Уравнение x = x_o + vt — это равномерное прямолинейное движение.

2. Начальная координата точки x_o = 0.

3. Скорость точки — это коэффициент при t, то есть v = 20 м/с. Скорость положительна, следовательно, точка движется вдоль выбранного направления оси координат x.

4. Через 15 с координата точки будет равна x = 300 м. Графически — нарисовать в осях координат x(t) по точкам прямую, которая будет проходить через точки (0 с; 0 м) и (15 с; 300 м). Через 15 с координата (по графику) будет 300 м.

5. При x = 100 м: 100 = 20t, отсюда t = 5 c.

Задача 47Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 28 сентября 2007 года.

Решение:

Зависимость скорости от времени движущегося тела задана следующей формулой: v = 2 + 0,5t. Опишите это движение (укажите значение характеризующих его величин). Постройте график v(t).

Уравнение скорости (назовем его 1) для равноускоренного движения имеет вид:

Сопоставляя уравнение, заданное по условию задачи, с уравнением (1), находим: v_o = 2 м/с, a = 0,5 м/с².

Тело движется вдоль оси координат с начальной скоростью 2 м/с равноускоренно с ускорением 0,5 м/с. Знак скорости «+» указывает на направление движения (вдоль выбранной оси координат). Так вектора скорости и ускорения совпадают, то тело разгоняется. Остановки не предвидится.

Для построения графика воспользуемся аналогией y = b + kx, что соответствует линейной функции. Для построения графика достаточно двух точек:

1) t = 0, v = 2 м/с;
2) t = 2 c, v = 3 м/с.

Задача 48Теплоход плывет по реке из точки А в точку Б в течение 3 часов, а обратно — в течение 5 часов. Собственная скорость теплохода одинакова в обоих случаях. За какое время из точки А в точку Б доплывет плот?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 15 октября 2007 года.

Решение:

Обозначим скорость теплохода как v_т, а скорость реки как v_р.

Время движения теплохода по течению равно:

Время движения теплохода против течения:

Выражаем S из обоих уравнений и приравниваем правые части:

Получаем: v_т = 4v_р.

По сути получается, что теплоход без течения преодолеет это расстояние за 4 часа, по течению — за 3 часа и против — за 5 часов.

Скорость теплохода, плывущего против течения относительно берега равна 3-м скоростям течения.

Ответ: плот проплывет данное растояние за 15 часов.

Задача 49Наблюдатель, стоящий на платформе, определил, что первый вагон электропоезда прошёл мимо него в течение 4 с, а второй — в течение 5 с. После этого передний край поезда остановился на расстоянии 75 м от наблюдателя. Считая движение поезда равнозамедленным, определить его начальную скорость, ускорение и время замедленного движения.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 27 сентября 2007 года.

Решение:

Составим уравнение движения для первого вагона:

для двух вагонов сразу:

Нам понадобится еще одно уравнение, в котором будет скорость и ускорение:

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений, решая которую (поупражняйтесь в математике самостоятельно), выйдем на конечную формулу:

Задача 50Тело, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением, прошло последовательно два равных участка пути, по 20 м каждый. Первый участок пройден за 1.06 с, а второй — за 2.2 с. Определить ускорение тела, скорость в начале первого и в конце второго участков пути, путь, пройденный телом от начала движения до остановки. Начертить графики зависимости пройденного пути, скорости и ускорения от времени.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 27 сентября 2007 года.

Решение:

Анализ условия задачи: так как второй участок (равный первому) пройден за большее время, то тело движется равнозамедленно.

Чтобы определить ускорение тела a, его скорость в начале первого v_o и в конце второго участков пути v, запишем уравнение пути для первого участка:

Методом укрупнения запишем уравнение пути для двух участков:

После решения этих уравнений относительно искомых v_o и a, получим: v_o = 22 м/с, a = −6 м/с².

Для определения скорости в конце второго участка v запишем уравнение скорости:

Здесь время t — это 1.06 + 2.2 = 3.26 c. Проведя вычисления, получим v = 2.44 м/с.

Для определения общего пути S_общ до остановки воспользуемся формулой:

Здесь конечная скорость v_кон = 0, поскольку тело в конце пути остановилось. Ускорение и начальную скорость мы определили чуть выше.

Получим S_общ= 40.33 м.

Уравнение пути: S = 22t − 3t²,

скорости: v = 22 − 6t,

ускорения: a = −6 м/с².

Ответ: v_o = 22 м/с, a = −6 м/с², S_общ= 40.33 м.

Задача 51Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с, в последние 2 с падения прошло путь вдвое больший, чем в две предыдущие 2 с. Определить время падения и высоту, с которой тело было брошено. Построить график зависимости пройденного пути, ускорения и скорости от времени.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 27 сентября 2007 года.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче и введем следующие обозначения:

h₁ — расстояние пройденное телом в две предыдущие секунды, тогда
2h₁ — расстояние пройденное телом за последние две секунды,
t — время падения с высоты H.

Высота падения тела H равна:

а высота h (без четырех секунд) равна:

Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:

То есть:

Составим еще одно уравнение высоты:

Вычитая из уравнения (1) уравнение высоты (4), получим в конце (формула исправлена):

Приравнивая правые части уравнений (3) и (5), имеем (после преобразований) t = 4,5 c, тогда высоту, с которой падало тело, можно рассчитать по формуле (1). Высота равна 123,75 м.

Для построения графиков составим уравнения пути H(t), g(t) и v(t):

H = 5t +5t², g = 10 м/с² = const, v = 5 + 10t.

Примечание: начало отсчета выбиралось в точке бросания тела, и ось направлялась вертикально вниз (по вектору начальной скорости и ускорения), что видно из графиков.

Задача 52Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой скоростью он упал на землю?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 4 июня 2007 года.

Решение:

Если камень был в полете 2 с, то в силу симметрии 1 с он летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную составляющую V_x скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с камень приобретет вертикальную скорость V_y, равную:

V_y = gt

Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной составляющей в момент падения:

Искомая скорость равна V = 20 м/с.

Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.

Задача 53С вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 60°, бросают тело в горизонтальном направлении. Если через 3,5 с тело ударилось о плоскость, то с какой начальной скоростью оно было брошено?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 3 июня 2007 года.

Решение:

Высоту полета тела H определим по формуле:

Дальность полета по горизонтали S будет равна:

S = v_ot.

Отношение высоты полета тела H к дальности полета по горизонтали S равно:

Находим v_o:

Если принять g = 10 м/с², то v_o = 10.1 м/с.