Здавалка
Главная | Обратная связь

Формализация (алгоритм)



Теория

Динамическое программирование в теории управления и теории вычислительных систем — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой, выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

Оптимальная подструктура в динамическом программировании означает, что оптимальное решение подзадач меньшего размера может быть использовано для решения исходной задачи. К примеру, кратчайший путь в графе из одной вершины (обозначим s) в другую (обозначим t) может быть найден так: сначала считаем кратчайший путь из всех вершин, смежных с s, до t, а затем, учитывая веса ребер, которыми s соединена со смежными вершинами, выбираем лучший путь до t (через какую вершину лучше всего пойти). В общем случае мы можем решить задачу, в которой присутствует оптимальная подструктура, проделывая следующие три шага.

  1. Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера.
  2. Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно, проделывая такой же трехшаговый алгоритм.
  3. Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.

Подзадачи решаются делением их на подзадачи ещё меньшего размера и т. д., пока не приходят к тривиальному случаю задачи, решаемой за константное время (ответ можно сказать сразу). К примеру, если нам нужно найти n!, то тривиальной задачей будет 1! = 1 (или 0! = 1).

Перекрывающиеся подзадачи в динамическом программировании означают подзадачи, которые используются для решения некоторого количества задач (не одной) большего размера (то есть мы несколько раз проделываем одно и то же). Ярким примером является вычисление последовательности Фибоначчи, и — даже в таком тривиальном случае вычисления всего двух чисел Фибоначчи мы уже посчитали дважды. Если продолжать дальше и посчитать , то посчитается ещё два раза, так как для вычисления будут нужны опять и . Получается следующее: простой рекурсивный подход будет расходовать время на вычисление решения для задач, которые он уже решал.

Чтобы избежать такого хода событий мы будем сохранять решения подзадач, которые мы уже решали, и когда нам снова потребуется решение подзадачи, мы вместо того, чтобы вычислять его заново, просто достанем его из памяти. Этот подход называется мемоизацией. Можно проделывать и дальнейшие оптимизации — например, если мы точно уверены, что решение подзадачи нам больше не потребуется, можно выкинуть его из памяти, освободив её для других нужд, или если процессор простаивает и мы знаем, что решение некоторых, ещё не посчитанных подзадач, нам понадобится в дальнейшем, мы можем решить их заранее.

Подводя итоги вышесказанного можно сказать, что динамическое программирование пользуется следующими свойствами задачи:

  • перекрывающиеся подзадачи;
  • оптимальная подструктура;
  • возможность запоминания решения часто встречающихся подзадач.

Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

  • нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач.
  • восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

Языки программирования могут запоминать результат вызова функции с определенным набором аргументов (мемоизация), чтобы ускорить «вычисление по имени». В некоторых языках такая возможность встроена, а в некоторых требует дополнительных расширений .

Известны сериальное динамическое программирование, включённое во все учебники по исследованию операций, и несериальное динамическое программирование (НСДП), которое в настоящее время слабо известно, хотя было открыто в 1960-х годах.

Обычное динамическое программирование является частным случаем несериального динамического программирования, когда граф взаимосвязей переменных — просто путь. НСДП, являясь естественным и общим методом для учета структуры задачи оптимизации, рассматривает множество ограничений и/или целевую функцию как рекурсивно вычислимую функцию. Это позволяет находить решение поэтапно, на каждом из этапов используя информацию, полученную на предыдущих этапах, причём эффективность этого алгоритма прямо зависит от структуры графа взаимосвязей переменных. Если этот граф достаточно разрежен, то объём вычислений на каждом этапе может сохраняться в разумных пределах.

Одним из основных свойств задач, решаемых с помощью динамического программирования, является аддитивность. Неаддитивные задачи решаются другими методами. Например, многие задачи по оптимизации инвестиций компании являются неаддитивными и решаются с помощью сравнения стоимости компании при проведении инвестиций и без них.

Алгоритм Крускала (или алгоритм Краскала) — эффективный алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Также алгоритм используется для нахождения некоторых приближений для задачи Штейнера. Алгоритм впервые описан Джозефом Крускалом в 1956 году.

Постановка задачи

Имеется 8 предметов, каждый из которых характеризуются своим весом и ценностью.

Требования

Требуется определить набор предметов максимальной ценности, общий вес которых не превосходит 55, если исходные данные заданы таблицей:

# предмета Вес Стоимость

Формализация (алгоритм)

1) Сортировка предметов по результату соотношения Цена/Вес

2) Сравнение каждого предмета, начиная сверху списка на вычитание общего требуемого веса и веса предмета:

§ Если результат вычитания положительное число или ноль, то производим вычитание.

§ Иначе убираем предмет из списка

В результате остается список с предметами максимальной ценности обще вес которых не превосходит заданного веса.

Был выбран данный метод т.к. он дает минимальные потери и охватывает всевозможные варианты входных данных, в отличие от других методов (к примеру полного перебора, где не будет охватываться случай с потерей при перезапуске).

 


 

Реализация

Для реализации алгоритма использовался язык C# 6.0.

Разработка велась в среде Visual Studio 2015.

Структура проекта:

OperationResearchLib– библиотека содержащая функции и методы.

Список классов:

· Item – класс реализующий параметры для элемента

· Production – класс реализующий процесс поиска предметов


 

OperationResearchLib:

Item:

public class Item

{

private double price;

private double weight;

 

public Item()

{

 

}

 

public double Price

{

get

{

return this.price;

}

set

{

this.price = value;

}

}

 

public double Weight

{

get

{

return this.weight;

}

set

{

this.weight = value;

}

}

 

public double PriceWeightRatio

{

get

{

return price / weight;

}

}

}

 

 

ItemTask:

public static class ItemsTask

{

public static List<Item> GetItemsUnderMaximumWeight(List<Item> listOfItems,

double MaximumWeight)

{

listOfItems.OrderBy(item => item.PriceWeightRatio);

 

for(int i = 0; i < listOfItems.Count; i++)

{

if(MaximumWeight - listOfItems.ElementAt(i).Weight >= 0)

{

MaximumWeight = MaximumWeight - listOfItems.ElementAt(i).Weight;

}

else

{

listOfItems.RemoveAt(i);

}

}

return listOfItems;

}

}

 


 

Постановка задачи

Имеется дерево T = (V,E) с корнем r e V и весами вершин Cv,v e V.

Требования

С помощью динамического программирования найти поддерево с корнем в r максимального веса







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.