Главная | Обратная связь

Матричная игра с платежной матрицей

Дана матричная игра с платежной матрицей. Используя графический анализ игры, найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену этой матричной игры.
Рассмотреть матричную игру с платежной матрицей, являющейся транспонированной к предложенной матрице. Решить эту игру графически и сравнить полученные результаты.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 0.5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 1.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 0.5 <= y <= 1. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

Чтобы представить числа целыми, умножим элементы матрицы на 10 и вычтем 3. Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A₁, правый - стратегии A₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁,p₂).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A₂.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B₁B₁ и B₂B₂, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 1 + (7 - 1)p₂
y = 7 + (2 - 7)p₂
Откуда
p₁ = ⁵/₁₁
p₂ = ⁶/₁₁
Цена игры, y = 4³/₁₁
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
q₁+7q₂ = y
7q₁+2q₂ = y
q₁+q₂ = 1
или
q₁+7q₂ = 4³/₁₁
7q₁+2q₂ = 4³/₁₁
q₁+q₂ = 1
Решая эту систему методом обратной матрицы, находим:
q₁ = ⁵/₁₁
q₂ = ⁶/₁₁

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (-3), то вычтем это число из цены игры.
Цена игры: y = 4³/₁₁ - (-3) = 7³/₁₁
Поскольку ранее элементы матрицы были умножены на число (10), то разделим цену игры на это число.
Цена игры: y = 7³/₁₁ / 10 = ⁸/₁₁