 |
|
Алгебраїчне означення
Коло радіуса r = 1, з центром (a, b) = (1.2, -0.5)
Коло на площині, даного радіуса 
, у певній вибраній декартовій системі координат 
і 
, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням:
Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:
Загальне рівняння кола:
Якщо відомі координати трьох точок на площині 
і 
, то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник:
Параметричне означення
Коло на площині, даного радіуса , у певній вибраній декартовій системі координат і , описується системою рівнянь:
де параметр 
— пробігає значення від 
до 
. З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаєм:
Полярні координати
Рівняння кола в полярних координатах:
де a – радіус кола, r0 - відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r0 = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r0 = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуєм рівняння:
.
В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:
,
Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.
Комплексна площина
Рівняння кола на комплексній площині:
Або в параметричному вигляді
Означення Аполлонія
Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками
Властивості
- Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і притому тільки одне.
- Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
- Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.
- Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
- Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
- Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.
- Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
- Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.
- Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
- Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
- При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.
- Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.
- Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.