 |
|
Генеральная совокупность, выборка, репрезентативность выборки.
МАТ. ОТВЕТЫ
1.Функции распределения и плотности вероятности, их свойства.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем х, где х — произвольное действительное число: F(x) = Р {Х ≤ х}
F (x) —неубывающая функция; О ≤F(x) ≤ 1. Ф. р. в. полностью задает случайную величину. Если X —дискретная случайная величина, принимающая значения х1, x2... с вероятностями p1,p2,..., то ее функция распределения будет: F(x) = ∑рk; она разрывна и возрастает скачками в точках хk. Если X —непрерывная случайная величина, то у нее существует плотность распределения вероятностей f(x).
Закон распределения случайной величины – это связь значения и вероятности. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Р(А)=N(A)/N
F(x) = P(X < x).
Дискретная величина – это определённое количество значений.
Функция распределения случайной величины.
Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения. Функция распределения случайной величины Х, называется функцией аргумента х, что случайная величина Х принимает любое значение меньшее х (Х<х) F(х)=Р(Х<х) F(х) - иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами:
1.0<F(х)<1
2.если х1>х2,то F(х1)>F(х2)
Сумма вероятностей равна 1.
Функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.
n = объем выборки, количество человек.
nk= количество человек, имеющих значение К (частота значений).
nk/n= относительная частота.
Ген. совокупность:
Функция распределения.
F(x) – вероятность того, что случайная величина x в результате испытания примет значение меньше x
Fx(x) = P{x<x}
F(x) – вероятность того, что случайная величина примет значения, которые изображаются на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.
Выборка:
Эмпирическая функция распределения
, где n – общее число наблюдений, nx - число наблюдений, при которых наблюдались значения признака меньше x.
Закон выборочного распределения (функция плотности вероятности)
Для непрерывной случайной величины Х её функция распределения F(x) имеет непрерывную производную
F'(x)= φ(x).
Функцию φ(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией.
Так как плотность вероятности φ(x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: φ(x)≥0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.
Дифференциальная функция является производной интегральной функции распределения вероятностей.
Свойства дифференциальной функции распределения вероятностей:
1) р(А) ≥ 0 – вероятность любого события не может быть отрицательной;
2) р(–∞) = р(+∞) = 0;
3) 
= 1
– площадь, ограниченная кривой графика функции плотности вероятностей и осью абсцисс, равна 1, т.е. вероятность полной группы событий равна 1.
Генеральная совокупность, выборка, репрезентативность выборки.
Генеральная совокупность — совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.
Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования. Например, мужчины 30-50 лет, использующие бритву определённой марки не реже раза в неделю, и имеющие доход не ниже $100 на одного члена семьи.
Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.
Выборка или выборочная совокупность — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании. Выборка – часть генеральной совокупности, ее статистическая модель.
Характеристики выборки:
· Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.
· Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.
Необходимость выборки
· Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.
· Существует необходимость в сборе первичной информации.
Репрезентативность
Выборка может рассматриваться в качестве репрезентативной или нерепрезентативной.
Пример нерепрезентативной выборки:
В США одним из наиболее известных исторических примеров нерепрезентативной выборки считается случай, происшедший во время президентских выборов в 1936 году[1]. Журнал «Литрери Дайджест», успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам, а также людям, выбранным по телефонным книгам всей страны и людям из регистрационных списков автомобилей. В 25 % вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 миллиона) голоса были распределены следующим образом:
· 57 % отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону
· 40 % выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта
На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, набрав более 60 % голосов. Ошибка «Литрери Дайджест» заключалась в следующем: желая увеличить репрезентативность выборки, — так как им было известно, что большинство их подписчиков считают себя республиканцами, — они расширили выборку за счёт людей, выбранных из телефонных книг и регистрационных списков. Однако они не учли современных им реалий и в действительности набрали ещё больше республиканцев: во время Великой депрессии обладать телефонами и автомобилями могли себе позволить в основном представители среднего и высшего класса (то есть большинство республиканцев, а не демократов).
Репрезентативность выборки — это показатель, заключающийся в том, что выборка должна полно и достоверно отображать признаки той совокупности, частью которой она является. Её также можно определять как свойство выборки наиболее полно представляющей характеристики генеральной совокупности, существенные с точки зрения цели исследования.