Главная | Обратная связь

Меры разброса генеральной совокупности: среднее квадратичное отклонение. Дисперсия (свойства с доказательствами).

Меры Разброса Данных - характеристики выборки или генеральной совокупности, предназначенные для описания степени разброса данных (дисперсия, среднее квадратичное отклонение). Один из способов измерения рассеяния данных заключается в том, чтобы определить степень отклонения каждого наблюдения от средней арифметической. Очевидно, что чем больше отклонение, тем больше изменчивость, вариабельность наблюдений.

Однако мы не можем использовать среднее этих отклонений как меру рассеяния, потому что положительные отклонения компенсируют отрицательные отклонения (их сумма равна нулю). Чтобы решить эту проблему, мы возводим в квадрат каждое отклонение и находим среднее возведенных в квадрат отклонений; эта величина называется вариацией, или дисперсией.

Дисперсия:

Дискретная случайная величина:

Непрерывная случайная величина:

На практике вместо оценки дисперсии чаще используют производную от нее – стандартное отклонение, иначе называемое средне - квадратичным отклонением (уклонением). Значение стандартного отклонения определяется как квадратный корень от величины дисперсии.

Также часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

2.При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D[X+c] = D[X].

Доказательство: по определению дисперсии

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с².

Доказательство: по определению дисперсии

4°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(Доказательство)

5°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(Доказательство)