 |
|
Параметрические методы проверки статистических гипотез.
Параметрические и непараметрические гипотезы
В зависимости от формулировки статистических гипотез различают параметрические и непараметрические статистические гипотезы.
Предположение, которое касается неизвестного значения параметра распределения, входящего в некоторое параметрическое семейство распределений, называется параметрической гипотезой (напомним, что параметр может быть и многомерным).
Большинство параметрических методов разработаны для нормально распределенных совокупностей. Некоторые методы позволяют анализировать данные, распределенные по другим законам (например, биномиальному или Пуассона).
Предположение, при котором вид распределения не рассматривается (т.е. не предполагается, что оно входит в некоторое параметрическое семейство распределений), называется непараметрической гипотезой. Непараметрические методы позволяют исследовать данные без допущений о характере распределения переменных. Так как в этих тестах обрабатывается не само измеренное значение, а его ранг, то эти тесты нечувствительны к выбросам. Непараметрические тесты могут применяться в тех случаях, когда переменные измерены при помощи порядковой или метрической шкалы. Существуют тесты, предназначенные для анализа номинальных данных.
Непараметрические методы наиболее приемлемы, когда объем выборок мал. Если данных много (например, n>100), то не имеет смысла использовать непараметрические статистики. Когда выборки становятся очень большими, то выборочные средние подчиняются нормальному закону, даже если исходная переменная не является нормальной или измерена с погрешностью. Таким образом, параметрические методы, являющиеся более чувствительными (имеют большую статистическую мощность), практически всегда подходят для больших выборок.
Класс статистических методов, используемых для анализа данных, которые образуют известное распределение (обычно нормальное). Названы так потому, что основываются на оценке параметров (таких как среднее или стандартное отклонение) выборочного распределения интересующей величины. Примеры параметрических критериев: t-критерий Стьюдента, хи-квадрат Пирсона и др.
1.Критерий 
- статистический критерий для проверки гипотезы 
, что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.
Проверка гипотезы
Распределение хи-квадрат
В зависимости от значения критерия , гипотеза может приниматься, либо отвергаться:
, гипотеза выполняется.
(попадает в левый "хвост" распределения). Следовательно, теоретические и практические значения очень близки. Если, к примеру, происходит проверка генератора
случайных чисел, который сгенерировал n чисел из отрезка [0,1] и гипотеза : выборка 
распределена равномерно на [0,1], тогда генератор нельзя называть случайным (гипотеза случайности не выполняется), т.к. выборка распределена слишком равномерно, но
гипотеза выполняется.
(попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза отвергается.
Пример 1
Проверим гипотезу : если взять случайную выборку 100 человек из всего населения острова Кипр (генеральной совокупности), где количество мужчин и женщин примерно одинаково (встречаются с одинаковой частотой), то в наблюдаемой выборке отношение количества мужчин и женщин будет соотноситься с частотой как и во всей генеральной выборке(50/50). Пусть в наблюдаемой выборке 46 мужчин и 54 женщины, тогда число степеней свобод 
и
Т.о. при уровне значимости 
о выполнении гипотезы ничего сказать нельзя т.к. значение > 
.
2.t-критерий для одной выборки позволяет проверить гипотезу о равенстве выборочного среднего некоторому заданному числу.
В так называемых одновыборочных t-критериях, наблюдаемое среднее (вычисленное по реализации выборки) сравнивается с ожидаемым (или эталонным) средним выборки μ (т.е. с некоторым теоретическим средним).
Вычисленное значение t проверяют на предмет попадания в критическую область (критическое значение можно найти по таблицам).
Если вычисленное значение t попадает в критическую область, то говорят, что 
отвергается на уровне α в пользу альтернативы.