 |
|
Взаємне розташування 2х площин у просторі
Нехай задано дві площини : 
: 
x + 
y + 
z + 
= 0 ; 
: 
x + 
y + 
z + 
= 0 площини і можуть мати спільні точки або їх не мати , якщо ж вони мають спільну точку то координати задовольняють р=-ння обох площин , тобто координати спільних точок є розв’язком системи 1 і 2
1) Через r позначимо ранг основної матриці сист 1) 2) , через 
позначимо ранг розширеної матриці
1) 
2)
Max r = 2, min r=1
Розглянемо такі випадки:
Нехай r= – система сумісна і має єдиний розвязок , тоді дві площини мають спільну точку , а отже перетинаються по прямій. Вони можуть бути перпендикулярними, тоді їх нормальні вектори також будуть перпендикулярними, отже їх скалярний добуток 
* 
=0
= 
отже
+ 
+ 
= 0 – умова перпендикулярності 2х площин
2) Нехай r=1 =2 –система несумісна розв немає, дві площини не мають жодної спільн точки. В даному випадку площини можуть бути лише паралельними тоді їх нормальні вектори і колінеарні тоді їх координати мають бути пропорційними: 
= 
= 
– умова паралельності 2х площин
3) r=1 =1 сист сумісна і має безліч розвязків , П1 І П2 – співпадають
Кут між двома площинами
Нехай у просторі задано дві площини і і нехай вони перетинаються. Під кутом цих площин будемо вважати будь – який із 2х граних кутів. Для того щоб визн кут між площинами нам потрібно визначити кут між їх нормальн векторами
= 
= ( 
), 
( 
)
Відстань від точки до площини
Нехай П= Ax+By+Cz+D=0 та 
( 
) яка не належить площині
Означення:під відстаню від 
до площини П будемо розуміти довжину перпендикуляра опущеного з точки на площину П.
Нехай т 
( 
)
A 
+D = 0
D = -A 
Знайдемо скалярний добуток 2х векторів 
та 
= │ │* * cos 
,^ 
)
cos ,^ )=-1
тоді │ │= 
= 
= 
Відстань між двома паралельними площинами
: 
= 0
: 
= 0
(0,0,z)
Підставивши дану точку в отримаємо 
= 0 звідси 
M (0,0,- 
) по суті ми отримали нову задачу знаходж відстані між деякою точкою М та площиною П: Ax+By+Cz+D=0 тоді відстань між 
та буде = відстані між і 