Здавалка
Главная | Обратная связь

Взаємне розміщення прямої та площини. Пучок площин. Вязка площин



13) Взаємне розміщення прямої та площини

Нехай в просторі задано якусь площину П: Ax+By+Cz+D=0(1) а також пряму D задану параметричним рівнянням D: (2)

Очевидно для дослідження розміщення нам потрібно знайти їх спільні точки тобто розв сист р-нь(1)і(2), підставимо (2)в(1) отримаємо A( )+ B( )+ C( )+D=0

Розкривши дужки матимемо:

A + B +D +t(A )=0(3)

Дослідимо це р-ння на існування розв’язків

1) A 0, t=- в цьому випадку р-ння має єдиний розвязок, це означає що пряма і площина мають одну спільну точку. В прямокутній декартовій системі координат це означатиме що( ) 0

Нехай наша пряма перпендикулярна до площини, тоді ( )

З паралельності слідує = = – умова перпендикулярності прямої та площини

2) A =0, A + B +D 0 – розв’язків немає, отже пряма і площина паралельні

3) A =0, A + B +D 0 – р-ння має безліч розв’язків, пряма належить площині.

Зауваження: з останіх 2х випадків бачимо що умова A =0 є умова паралельності прямої та площини.

 

Кут між прямою і площиною

Означення:під кутом між прямою і площиною будемо розуміти кут між прямою та її ортогональною проекцією на цю площину.

Нехай П з (A,B,C) і пряму d з ( , )

На площині зобразимо ортогональну проекцію прямої d

cos =cos( )= sin (якщо - гострий )

cos =cos( )= -sin => sin = cos => sin =

тоді sin = =

 

Пучок площин

Розглянемо у просторі деяку пряму d через дану пряму можна провести у просторі безліч площин

Означення:пучком площин називається множина всіх площин простору які проходять через задану пряму d цю пряму називають віссю пучка, позначають П( ). Очевидно що через будь-яку точку простору можна провести лише одну площину пучка. Також, через пряму d проходить єдина площина, яка паралельна та перпендикулярна до даної площини. Знайдемо р-ння пучка площин.

 

Для цього, припустимо що вісь пучка задається як лінія перетину двох площин

d: (1)

Нехай Ax+By+Cz+D=0(2) є р-ння довільної площини пучка, також маємо довільну т ( ) яка належить осі пучка, тоді вона задовольняє кожне з р-нь площин(1) і матиме вигляд:

=0

=-(A + B )

=0

=-( + )

Тоді р-ння матиме вигляд: A( )+B +C (3)

Тепер нам потрібно A, B, С виразити через відомі , , , , ,

, , .

 

Розглянемо 2 нормальні вектори ( , , ), ( , , )

Вони не можуть бути паралельними, вони утвор базис деякого простору.

Розглянемо вектор (A,B,C) тоді будуть існувати такі дійсні які одночасно 0

= + => A= +

B= +

C= +

A,B,C підставимо в (3) ( + )( )+( + ) +( + ) =0

Тоді звівши спільні доданки при і

( )+ ( )=0 =>

( - )+ ( )=0

Вважатимемо що

x+ y+ - +k( )=0 – зг р-ння пучка прямих

Означення: множину всіх площин простору паралельно до даної площини наз пучком паралельних площин

Якщо нам дано площину + =0 то р-ння пучка паралельних площи матиме вигляд +D, де D – параметр.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.