 |
|
Циліндричні поверхні 2-го порядку
Нехай у просторі задано деяку площину П та деяку лінію 2-го порядку 
що лежить у цій площині
Нехай 
– деякий ненульовий вектор, який не є паралельний до площини П і який визначатиме в’язку прямих паралельно до . Очевидно що серед усіх цих прямих в’язки будуть такі прямі які перетнуть площину П у точках які належать крвій .
Означення: Циліндричною поверхнею 2-го порядку у просторі наз мн точок простору які належать тим прямим в’язки які перетинають площину П у точках що належать лінії . Цю лінію називають напрямною циліндричної поверхні.
Пряму в’язки яка проходить через наз твірною циліндричної поверхні. Знайдемо зг р-ння циліндричної поверхні 2-го порядку.
Нехай маємо деяку афінну систему координат у якій задано лінію 2-го порядку яка повністю належить(наприклад площині xoy)і ця лінія задається своїм зг р-нням f(x,y)=0
Нехай нам дано 
( 
)який є напрямним твірної даної поверхні, на кривій зафіксуємо деяку точку N(x’,y’,0) позн через т M(біжуча точка поверхні), яка буде належати прямій в’язці що проходить через точку M(x,y,z). Розглянемо 
=> 
=> 
=> 
Підставивши знайдені x’ та y’ у р-ння f(xy)=0 отримаємо зг р-ння циліндричної поверхні 2-го порядку
f( 
; 
) = 0
Нехай вектор 
паралельний до осі oz в цьому випадку всі прямі в’язки будуть паралельні до oz або перпендикулярні до xoy зг р-ння набуде вигляду f(x,y)=0(бо напрямний вектор в цьому випадку буде мати координати (0,0, 
))
Звідси слідує, якщо а паралельна до даної з осей то р-ння циліндр поверхні співпадає з р-нням напрямної лінії, в залежн від того яку конкретну лінію 2-го порядку ми візьмемо отримаємо такі циліндр поверхні:
1) Якщо за напрямну візьмемо еліпс, то отримаємо еліптичний циліндр.
2) Якщо гіперболу , то гіперболічний.
3) Якщо параболу, то параболічний.
4) Якщо візьмемо дві прямі, що перетинаються, то отримаємо дві площини, що перетинаються.
5) Якщо за напрямну візьмемо 2 прямі які паралельні візьмемо пряму яка складається із 2х паралельних площин.