 |
|
Конічні поверхні 2-го роду
f(x,y)= 
, розглянемо на деякій площині лінію 2-го порядку ф деяку точку S яка не належить цій площині, т S –визначає у просторі деяку в’язку прямих. Очевидно серед цих прямих будуть і ті прямі які перетин площину у точках які належать прямій 
Означення: Конічною поверхнею 2 –го роду з площини точок простору,якы належать прямим вязки з центром S які перетинають площину у точках що належать ліній , цю лінію називають напрямною конічної поверхні , т S – вершиною, пряму в’язки називають прямою конічн поверхні.
Поставимо перед собою завдання з-ти зг. Р-ння конічн поверхні 2-го роду, для цього розглянемо деякий репер. Не зменшуючи загальності припустимо що напрямна 
лежить у площины z=h
S( 
) нехай р-ння напрямної 2го порядку нам задано тоді f(x,y)=0, де f= 
зафіксуємо певну твірну конічн поверхні і позн через n точку перетину її з кривою
Нехай N(x’,y’,h) через M позначимо довільну біжучу точку M(x,y,z). Оскільки Nє то справедливим буде f(x’,y’)=0(2)
Розгл вектори 
та 
, очевидно що ці вектори є колінеарні а тому для них буде справедливим р-сть: 
(3)
Підставимо отриманий результат в (3)=> 
З (1) та(2) р-ння виразимо x’ та y’ а з (3)-t
підставимо це в (2)
f( 
; 
)=0(6) – р-ння канон поверхні
Розгл випадок коли т М буде збігатися з тS тоді отримаємо у (6) ділення на 0, р-ння не матиме змісту тому пропонується його домно житина 
. Отримаємо( 
= f( 
); 
))(7)=0 – зг р-ння канон поверхні
Взалежн від того яка лінія 2-го порядку служить нам за напрямну конічн поверхні поділяють на 2 типи:
1) Вироджені конічні поверхні
2) Невироджені конічні поверхні
Якщо за напрямну нам служить еліпс, гіпербола чи парабола , то в цьому випадку конічну поверхню називають не виродженим конусом.
Р-ння (7) набуде вигляду : 
f( 
) підставивши 
в (1) отримаємо 
=>
(8)- р-ння конуса коли вершина знаходиться на початку координат.
Нехай за напрямну конічної поверхні слугує еліпс, який задається своїм канонічним р-нням 
+ 
=1 прирівнявши коефіцієнти в (1) та в р-ні еліпса отримаємо 
= 
; 
; 
; 
; 
; 
тоді в цьому випадку р-ння канон поверхні набуває вигляду + - =0 => h=c => 
+ 
- 
=0(9)- канон р-ння є еліпс
Розглянемо конс 2-го порядку за напрямну якого служить коло, тобто маємо круговий конус, якщо його перетнути площиною , яка перетинає усі твірні конуса то в перерізі отримаємо еліпс. Якщо перетнути конічну поверхню площиною паралельною до однієї з твірних, то в перерізі отримаємо параболу, якщо до 2х твірних то отримаємо гіперболу.
Отже, в результаті перерізу кругового конуса площиною, можна отримати еліпс,гіперболу і параболу, тому в геометрії ці лінії називають конічними перерізами
Поверхні обертання
Розглянемо у просторі деяку пряму d і деяку лінію 
Означення:поверхня яка утвор в результаті обертання лінії 
навколо d(осі) наз поверхнею обертання
тому d назвемо віссю обертання, а лінію – твірною поверхні обертання. Якщо поверхню обертання перерізати площиною що проходить через вісь обертання, то отримаємо лінію яка називається меридіаном. Якщо поверхню обертання перетнути площиною перпендикулярною, то отримаємо паралель.
З-мо р-ння поверхні обертання: для цього в просторі деяку афінну систему координат R={0; 
} в цій системі розглянемо деяку поверхню обертання F, припустимо що ця поверхня утворена в результаті обертання лінії , яка задається в площині xoz таким р-нням x=f(z)(1) навколо осі oz.
Зафікс на лінії x=f(z) точку N(x,0,z) візьмемо будь яку M, яка є збіжноюі лежить з N в одній площині П, яка паралельна xoy: M(x;y;z), згідно побудови та вибору точок 
= 
O’M=x’
З іншого боку O’M= 
=> x’=
Згідно (1) x=f(z) => =f(z) => 
= 
(z) – р-ння обертання лінії навколо oz Якщо поверхня обертання утвор лінією що оберт навколо ox то отримаємо 
= (x),якщо навколо oy то 
= (y)