 |
|
Комплексно-сопряженные числа
Необходимо сделать еще одно замечание: числа 
и 
называются комплексно-сопряженными. При этом комплексно-сопряженное число обозначается чертой 
Согласно выражениям (3) и (7) их модули равны, а фазы равны по модулю но имеют противоположные знаки:
 .
| (21) |
Произведение согласно выражению (19) равно:
 .
| (22) |
Таким образом произведение комплексно-сопряженных чисел есть действительное число равное квадрату модуля этих чисел. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел представлено на рисунке 6.
Рисунок 6: Векторное представление комплексно-сопряженных чисел
Операции над комплексными числами. Деление комплексных чисел
Последняя операция которую осталось рассмотреть — операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:
| (23) |
Таким образом при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо чтобы 
. Получим формулу для деления комплексных чисел в явной форме. Пусть
| (24) |
умножим и числитель и знаменатель дроби на число комплексно-сопряженное знаменателя:
 .
| (25) |
Исходя из (22) в знаменателе дроби получим квадрат модуля знаменателя а числитель перемножим по правилу умножения комплексных чисел:
 .
| (26) |
Поделив почленно реальную и мнимую часть числителя на знаменатель получим:
 .
| (27) |
Выражение (27) - формула деления комплексных чисел в явной форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в явном виде, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.
Выводы
В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Подробно рассмотрено представление комплексного числа на плоскости, приведена формула Эйлера показательной формы комплексного числа. Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.