 |
|
Взаємне розміщення двох прямих просторі
Загальне рівняння площини.досліження неповного
Загальне рівняння площини
Будь-яку площину можна задати рівнянням площини першого ступеня вигляду
A x + B y + C z + D = 0
Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При D=0 площина проходить через початок координат, при A=0 (або B=0 ,C=0 ) площина паралельна осі Ox (відповідно Oy чи Oz). При A=B=0 (,A=C=0 чи C=B=0) площина паралельна площині Oxy (відповідно Oxz чи Oyz ).
Рівняння площин у відрізках на осях
Рівняння площини в відрізках
Якщо площина перетинає осі OX, OY і OZ в точках з координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) і (0, 0, с), то вона може бути знайдена, якщо використати формулу рівняння площини в відрізках
x/a+y/b+z/c=1
де a=-D/A b=-D/B c=-D/C
Рівняння площини , що проходить через 3 точки
Якщо задані координати трьох точок A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) і C(x3, y3, z3), які лежать на площині, то рівняння площини можна знайти за наступною формулою
| x - x1 y - y1 z - z1 |
|x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1| = 0
|x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1|
Кут між двома площинами.Умова паралельності площин.
Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.
cos α =( |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| )
/((A1^2 + B1^2 + C1^2)^1/2(A2^2 + B2^2 + C2^2)^1/2)
Площини паралельні тоді коли вектори паралельні
A1/A2=B1/B2=C1/C2
(вектори паралельні(компланарні) тоді і тільки тоді
Коли визначник складенний з їх координат дорівнює 0)
Кут між двома площинами.Умова перпендикулярності площин
Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.
cos α =( |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| )
/((A1^2 + B1^2 + C1^2)^1/2(A2^2 + B2^2 + C2^2)^1/2)
Площини перпендикулярні тоді коли перпендикулярні вектори
І коли виконується рівність
A1A2+B1B2+C1C2=0
Відстань від точки до площини.
Відстань від точки до площини — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на площину.
Якщо задано рівняння площини Ax + By + Cz + D = 0, то відстань від точки M(Mx, My, Mz) до площини можна знайти використовуючи наступну формулу
d = ( |A·Mx + B·My + C·Mz + D| )/
((A^2 + B^2 + C^2)^1/2)
Різні рівняння прямої в просторі
Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки в просторі
Якщо пряма, що проходить через дві точки A(x1, y1, z1) і B(x2, y2, z2), такі що x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 і z1 ≠ z2 то рівняння прямої можна знайти, якщо використати наступну формулу
x - x1 = y – y1 =z - z1
X2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
Параметричне рівняння прямої в просторі
Параметричне рівняння прямої може бути записане наступним чином x = l t + x0
y = m t + y0
z = n t + z0
где (x0, y0, z0) - координати точки, що лежить на прямій, {l; m; n} - координати напрямного вектора прямої.
Канонічне рівняння прямої в просторі
Якщо відомі координати точки A(x0, y0, z0), що лежить на прямій і напрямного вектора n = {l; m; n}, то рівняння прямої можна записати у каноничному вигляді, якщо використати наступну формулу
x - x1 = y – y1 = z - z1
L m n
Пряма як лінія перетину двох площин
Якщо пряма є перетином двох плщин, то її рівняння можна задати наступною системою рівнянь A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
за умови, що не має місце рівність
A1 = B1 = C1
A2 B2 C2
Взаємне розміщення двох прямих просторі
-Паралельні
-перпендикулярні
-мимобіжні
-збігатися
Взаємне розміщення прямої площини
-паралельно
-перпендикулярно
-накладатися
-перетинати
2 прямі в площині
-перпендикулярні
-паралельні
-перетинатися