Главная | Обратная связь

Аналітична геометрія

1. Дано вершини трикутника . Визначити довжини його сторін.

2. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

3. На осі ординат знайти точки, що віддалені від точки на відстані 5 одиниць.

4. На осі ОХ знайти точку, рівновіддалену від початку координат і від точки .

5. Якій умові мають задовольняти координати точки , якщо вона рівновіддалена від точок і ?

6. Знаючи координати двох протилежних вершин ромба та і довжину сторони АВ = 10, визначити координати решти вершин.

7. Обчислити довжину медіан трикутника АВС, якщо .

8. Знайти вершини трикутника, знаючи середини його сторін .

9. Дано координати двох суміжних вершин паралелограма і точку перетину його діагоналей . Знайти координати решти вершин.

10. Дано три вершини паралелограма: Знайти координати четвертої вершини , що протилежна вершині В.

11. Відрізок між точками і поділено на п’ять рівних частин. Знайти координати точок поділу.

12. Знайти точку перетину медіан трикутника, якщо координатами його вершин є: і .

13. Дано трикутник з вершинами . Знайти точку перетину бісектриси кута А зі стороною ВС.

14. Обчислити периметр і площу трикутника за координатами його вершин: і .

15. Обчислити площу п’ятикутника, вершинами якого є точки і .

16. Дано точки . Перевірити, чи є чотирикутник паралелограмом і обчислити довжини його висот.

17. Дано рівняння сторін і трикутника АВС. Точка — основа висоти . Записати рівняння медіани АМ, бісектриси AF і висоти AD трикутника, а також знайти кут А.

18. Дано трикутник . Знайти відстань від вершини В до медіани, що проходить через точку А.

19. Знайти координати точки, що розташована на віддалі 5 одиниць від прямої і прямої .

20. Скласти рівняння бісектрис кутів, утворених двома прямими і .

21. Написати рівняння перпендикулярів до прямої в точках її перетину з осями системи координат.

22. У трикутнику з вершинами проведені висота і медіана Написати рівняння сторони АС, медіани ВМ і висоти .

23. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45°, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60° до прямої .

24. Написати рівняння прямих, що проходять через вершини трикутника і паралельні його сторонам.

25. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо — його вершини, а — точка перетину медіан.

26. Скласти рівняння катетів прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза збігається з віссю ОХ, площа його дорівнює 20 кв. од., а — вершина прямого кута.

27. Знайти відстані точок від прямої .

28. Знайти відстань між прямими і .

29. Написати рівняння тих прямих, що паралельні прямій і знаходяться на відстані 5 одиниць від точки .

30. Написати рівняння геометричного місця точок, віддалених від прямої на 4 одиниці.

31. Написати рівняння бісектрис кутів між прямими:

1) і ;

2) і .

32. На осі ординат знайти точку, рівновіддалену від початку координат і прямої .

33. Скласти рівняння прямої, паралельної прямим і , що проходить посередині між ними.

34. Дві сторони паралелограма задано рівняннями і . Діагоналі його перетинаються в початку системи координат. Написати рівняння двох інших сторін і діагоналей.

35. Знайти рівняння кола, якщо відомі координати кінців одного з діаметрів АВ: .

36. Скласти рівняння кола, що проходить через три задані точки: .

37. Визначте центр і радіус кола, що задане рівнянням: .

38. Звести до канонічного вигляду рівняння кіл:

1) 2) ;

3) ; 4) .

39. Скласти рівняння кола, що торкається осі ОY у точці і має радіус .

40. Скласти рівняння дотичної до кола в точці .

41. Знайти кут між радіусами кола , що проведені в точки його перетину з віссю OY.

42. Скласти рівняння прямої, що проходить через центри двох кіл: і .

43. Дано рівняння еліпса: . Обчислити довжини осей, координати фокусів та його ексцентриситет.

44. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що:

1) півосі його дорівнюють 4 і 2 одиницям;

2) відстань між фокусами дорівнює 6, а велика піввісь — 5 одиницям;

3) велика піввісь дорівнює 10 одиницям, а ексцентриситет ;

4) мала піввісь дорівнює 3 одиницям, а ексцентриситет ;

5) сума півосей дорівнює 8, а відстань між фокусами — також 8 одиницям.

45. Еліпс проходить через точки і . Скласти його канонічне рівняння.

46. Скласти рівняння дотичних, що проведені з точки до еліпса .

47. Знайти точки перетину гіперболи з прямими:

1) ;

2) ;

3) .

48. Написати рівняння прямої, що дотикається до гіперболи в точці .

49. Скласти рівняння площини, що проходитьчерез вісь ОZ і утворює з площиною кут 60°, і знаходження її відстані до точки .

50. Знайти напрямний вектор прямої і кути, які вона утворює з осями системи координат.

51. Показати, що прямі і перетинаються, і написати рівняння площини, в якій вони розташовані.

52. Написати рівняння площини, що проходить через точки ; М₃(1, –2, 1).

53. Написати рівняння площини, що проходить через точку і відтинає на осях ОХ і OY відповідно відрізки .

54. Через точку проведено площину перпендикулярно до . Написати її рівняння.

55. Знайдіть кут між площинами:

1) і ;

2) і .

56. Написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і .

57. Знайти рівняння площини, що проходить через точку і паралельна до площини .

58. Написати рівняння площини, що проходить через точки і і перпендикулярна до площини .

59. Знайти рівняння площини, що проходить через точки і .

60. Знайти кут між площиною і координатною площиною Оyz.

61. Обчислити відстані:

1) точки до площини ;

2) точки до площини ;

3) точки до площини .

62. Визначити кут між прямими і .

63. Звести до канонічного вигляду загальне рівняння прямої

64. Через точку провести пряму:

1) паралельно прямій ;

2) паралельно прямій

65. У площині Оxz знайти пряму, що проходить через початок системи координат і перпендикулярна до прямої

66. Чи перетинаються прямі:

1) і ;

2) і

67. Написати рівняння перпендикуляра, проведеного від точки до прямої .

68. З початку системи координат опустіть перпендикуляр на пряму .

69. Знайти відстань від точки до прямої .

70. Написати рівняння площини, що проходить через пряму і точку .

71. Написати рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі: і .

72. Знайти точку перетину прямої з площиною .

73. Знайти точку перетину прямої з площиною .

74. Через пряму провести площину паралельно площині .