 |
|
Золотое сечение в искусстве.
Золотое сечение в живописи.
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..
Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.
В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.
Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие .
Пирамиды золотого сечения.
Широко известны медицинские свойства пирамид, особенно золотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, в которой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух - прозрачнее. Сны начинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применялась в архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции, здания архитекторов Баженова и Малевича
Заключение.
Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.
Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.
Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.
Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.
Возбуждение струны в точке, делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.
На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.
Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».
Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»
Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.
Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"
Список литературы
1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.
2. Журнал "Наука и техника"
3. Журнал «Квант», 1973, № 8.
4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.
5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
6. Стахов А. Коды золотой пропорции.
7.Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964
8. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998
9. Информация из интернета.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайтаhttp://www.ed.vseved.ru/
1. . Е.И.Игнатьев. Хрестоматия по математике. 1995г.
2. Энциклопедический словарь юного математика, Москва, Педагогика, 1985г
3. А. Я. Котов «Вечера занимательной арифметики», Просвещение, Москва, 1967.
4. С. Коваль «От развлечения к знаниям», 1972 г.
5. Учебник . Математика . 6класс.
«Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением и если первое можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.»
Иоганн Кеплер
С давних пор ученые занимались поисками гармонии и совершенства. Одним из таких вопросов был деление отрезка таким образом, чтобы отношение частей было совершенным. Задолго до нашей эры, в различных точках мира, разные ученые, независимо друг от друга, находили это отношение, и у всех это отношение было одним и тем же.
Золотым сечением, гармоническим делением и даже “божественной пропорцией” называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8.
Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ (встречается также обозначение τ) .
В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые встречается в «Началах» Евклида (3 в. до н.э.).
В эпоху Возрождения математическое понятие – золотая пропорция было возведено в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именовал ее Sectio aurea, откуда и получил начало термин “золотое сечение”.
Леонардо да Винчи, использовал золотое сечение как пропорции «идеального человеческого тела». Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных, следуя Леонардо да Винчи, многие люди «стремятся найти» золотое сечение во всём что между полутора и двумя.
В геометрии “золотым сечением” называется также деление отрезка в среднем и крайнем отношениях, при котором длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части. “Золотое сечение” отрезка можно определить, достроив его до прямоугольного треугольника, в котором данный отрезок будет гипотенузой. Доказательство можно провести с помощью теоремы Пифагора. Эта задача очень древняя, она присутствует в “Началах” Евклида, который решил ее геометрически.
Замечательный пример “золотого сечения” представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый, который называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и опознавательным знаком.
Отношение частей его диагоналей, названное золотым сечением, и приближенно равное 0,6, а более точно 0,618, считалось идеальным. Пентаграмма была хорошо известна в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята в Древней Греции. Существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а “золотое сечение” вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее лишь скопировали с натуры. Красоту этой фигуры можно обосновать с помощью математики.
Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD.
Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.
Ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения.
«Золотое сечение» в архитектуре.
«Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок».
В. Баженов
Профессия архитектора вовсе не чужда точных дисциплин. По своей сути архитектура стоит на грани искусства и техники. Без первого - архитектура превращается в ремесленничество, без второго - в бесплотные абстракции, которые невозможно реализовать. Не случайно один из создателей теории архитектуры Витрувий Поллион заложил в ее основу три основных принципа - польза, прочность и красота. Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В одной из колыбелей современной цивилизации - Древней Греции - геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Не исчезла связь архитектуры с математикой и в дальнейшем, чему можно привести множество примеров. "Золотым сечением" - соотношением, определяющим оптимальные с точки зрения зрительного восприятия пропорции архитектурного сооружения.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). Он по праву считается одним из величайших образцов античного зодчества, шедевром мирового искусства и пластики. Здание соединяет в себе гармоничность и точность золотого сечения.
Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. Пантеон представляет собой огромную круглую постройку с величественным куполом. С точки зрения архитектурных решений Пантеон является единственным в мире монументальным сооружением, в котором естественно и гармонично сочетается величественность с изящностью линий.
«Золотое сечение» в природе.
Пропорциональность в природе, означает соблюдение соотношений между размерами отдельных частей растения, и является непременным условием правильного и красивого изображения.
Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя из листьев третье расположено в месте золотого сечения. Это исследовали на традесканции и разновидностях плюща.
Расположение листьев на деревьях не случайно, а подчиняется определенным математическим законам. Если рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплен выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии. Проследив за расположением листьев по этой спирали, можно заметить, что листья расположены одни над другими. Часть спирали, заключенная между двумя такими листьями, называется в ботанике “циклом”. Листорасположение обозначают в виде дроби, в числителе которой число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе – число листьев в одном цикле. Наиболее распространенные типы листорасположений: ?, 1/3, 2/5, 3/8,5/13 и т.д.
Ботаники давно заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и довольно неожиданной особенностью: каждая из этих дробей, начиная с третьей, получается из предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей. Числители и знаменатели дают ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8… и 2, 3, 5, 8, 13…. Все эти дроби дают точные приближения к числу 0,62,числу Золотого сечения.
«Золотое сечение» и человек
"Необходимо прекрасному зданию быть построенным подобно хорошо сложенному человеку"
(Павел Флоренский)
Знаменитый зодчий Ле Корбюзье нашел золотое сечение во многих пропорциях человеческой фигуры. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура, и художники давно знают, что вопреки общему мнению, мужчины сложены красивее, чем женщины.
Каждую отдельно взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.
Рука, например, при рассмотрении согласно принципу золотого деления распадется на “свои анатомические части – плечо, предплечье, кисть. Разделение кисти руки также отвечает этому принципу.
Правильно! И, когда человек узнал, что его тело делится в таком отношении, он назвал это отношение “божественным”, а Леонардо да Винчи назвал его золотым, в смысле “идеальным”. Золотое сечение дано человеку самой природой в пропорциях своего тела, поэтому золотое сечение стало для человека эталоном красоты.
«Золотое сечение» в живописи..
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до
XXв.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета.
Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».
Размеры холста для картин художники нередко выбирали в соответствии с этой пропорцией.
Проверьте это! Ярко освещенная солнцем сосна, стоящая на переднем плане, делит длину картины по горизонтали в золотом отношении.
Справа от сосны, освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по вертикали. Так же можно найти мотивы золотого сечения и в других частях картины. Наличие в картине ярких деталей, делящих ее по золотому сечению, придает картине уравновешенность, чувство спокойствия и гармонии.
Картины великих художников, вызывающие непонятную, притягательную силу, запоминающиеся, написаны с применением золотого сечения. Чтобы создать шедевр, даже в искусстве необходима математика!
«Золотое сечение» в скульптуре.
Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.
Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.
Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.
Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.
Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.
«Золотое сечение» и кинематограф..
Так, известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения[источник?]. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.
Заключение.
Можно ли “поверить алгеброй гармонию”? “Да”, – считал Леонардо и указал, как это сделать. “Золотое сечение” – не середина, а пропорция – несложное математическое соотношение, содержащее в себе “закон звезды и формулу цветка”, рисунок на хитиновом покрове животных, длину ветвей дерева, пропорции человеческого тела. Видишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, – измерь и придешь к одной и той же формуле.
Психологи утверждают, что человек, живущий в комнате, имеющей форму золотого прямоугольника, более спокойный, уравновешенный.
И лист бумаги, и почтовая открытка, и карманный календарь, и проездной билет, даже шоколадка, являются золотым прямоугольником. А золотое сечение встречается в жизни в самых неожиданных местах. Это и окрас шкуры некоторых животных, и размер ящерицы, и даже куриное яйцо, присутствует в паутине, в раковине улитке, в расположении семян подсолнуха, и даже в нашей галактике!
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
a : b = b : cилис : b = b : а.
Эта пропорция равна: 
К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к к фиолетовому, равны 1.618
Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования».
Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.
Золотые пропорции в частях тела человека
Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6.
У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры.
Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.
Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. (или 1.618, если делить большее число на меньшее).
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.