Методические рекомендации

Основываясь на анализе ЕГЭ-2015 можно выделить следующие 3 проблемы, которые важным образом влияют на результаты выпускников:

· Шаблонность мышления

· Увеличение технической сложности КИМ

· Слабое владение математическим аппаратом, в том числе применительно к предмету

Шаблонность мышления заключается в том, что выпускники ожидают увидеть на экзамене задания аналогичные демо-версии, подготовительных вариантов с Интернет-ресурсов или литературы по подготовке к ЕГЭ. К сожалению, некоторые выпускники при подготовке ограничиваются только вариантом демо-версии текущего года.

Для уменьшения влияния шаблонности мышления при подготовке к ЕГЭ рекомендуется использовать не только задачи текущего года, но и архивы задач и демо-версий прошлых лет. Полезным мог бы оказаться открытый банк заданий ЕГЭ, однако, в том виде, в котором он представлен на сайте ФИПИ им пользоваться практически невозможно, в виду очень плохой структурированности материала (все задания банка разбиты всего на три больших группы).

Можно порекомендовать задания с сайта Решуегэ.рф (помимо банка задач и тренировочных вариантов сайт так же содержит архив диагностических работ) и архивы раздела ЕГЭ сайта К.Полякова.

Стоит обращать внимание на различные способы решения одной и той же задачи, даже если такой способ решения не является допустимым для формата ЕГЭ. Например, решение заданий с использованием электронных таблиц или написание простых программ. Такой подход в первую очередь применим к задачам раздела «Математические основы информатики» и чуть меньше к разделу «Теоретические основы информационно-коммуникационных технологий».

Увеличение технической сложности КИМ в первую очередь направлено на отсечение нерациональных решений, например, использование полного перебора вариантов. Зачастую, нерациональность решения связана с вычислениями. Например, вычисления проводятся в десятичной системе счисления, как в промежуточной, в то время как те же действия, проведённые в системе счисления с более удобным основанием, занимают на порядок меньше времени. В задачах на вычисление объёма памяти, учащиеся также, зачастую предпочитают проводить действия «в лоб», вместо того, чтобы заметить, что вычисляемое выражение сократимо, как минимум на степени 2. К сожалению, некоторые задания (например, второй вариант задания 4 по демо-версии), усложняясь, просто требуют большего объёма работы, не неся в этом никакой дополнительной идеи.

Проблема слабого владения математическим аппаратом особенно проявляется в следующих темах:

· Системы счисления

· Комбинаторика

· Теория чисел

Остановимся на каждой из них подробнее.

Системы счисления.

В условиях реализации ФГОС данная тема впервые изучается в курсе математики. Основными алгоритмами, которыми должны овладеть учащиеся, безусловно, являются алгоритмы перевода из десятичной системы счисления в недесятичную и обратно. Не менее важными являются алгоритмы сложения, вычитания в недесятичных системах. Для повторения и закрепления навыков работы с недесятичными системами счисления можно использовать электронные таблицы, в которых учащиеся могут реализовывать основные алгоритмы. Также рекомендуется вспомнить про алгоритмы перевода между системами счисления, при изучении темы «Циклы» раздела «Алгоритмы и программирование». При этом желательно, чтобы учащиеся не только могли бы самостоятельно написать цикл перевода числа из одной системы счисления в другую, но и узнавать эти алгоритмы в фрагментах программ.

Также, учащимся следует освоить некоторые навыки рациональных вычислений: алгоритм перевода между системами счисления, основания которых являются степенями одного и того же числа; перевод числа, «почти равного» степени основания.

Пример 1 (демо-версия КИМ-2016. Задание 1).

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F0₁₆?

Решение. Каждой цифре в 16-ичной записи числа соответствует 4 цифры двоичной записи. 1= 0001, 2 = 0010, F = 1111, 0 = 0000. Итоговое количество единиц – 6.

Варианты:

· посчитать количество нулей (возможные ошибки – не учитываются ведущие нули для цифр 2 и 0, либо излишне учитываются ведущие нули для цифры 1)

· посчитать количество единиц в восьмеричной записи, количество троек в четверичной записи (использование двоичной системы в качестве промежуточной)

Пример 2 (демо-версия КИМ-2016. Задание 16).

Значение арифметического выражения 9⁸+3⁵–9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение. Заметим, что 9⁸= 3¹⁶. В троичной системе счисления это число записывается 10…0₃ (16 нулей). Осталось прибавить 3⁵=100000₃ и вычесть 100₃. 100000₃– 100₃= 22200₃. 10…0₃+22200₃= 10…022200₃ (между 1 и 2 – 11 нулей). Ответ: 3.

Замечание. Ни ход решения, ни ответ не меняются при замене 3 на произвольное натуральное число a > 2, 9 – на a², а 2 – на a – 1. Например:

Значение арифметического выражения 256⁸+ 16⁵– 256 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько цифр «F» содержится в этой записи?

Заметим, что аналогичная задача в двоичной системе счисления имеет «подводный камень» – необходимо не забыть старшую единицу.

Варианты:

· посчитать количество нулей в записи

· посчитать сумму цифр

В отличие от предыдущих тем, в курсе математики не рассматриваются поразрядные логические и битовые операции над двоичными числами. Тем не менее знание данных операций необходимо для понимания работы АЛУ процессора, адресации в TCP/IP сетях и пр.

Комбинаторика.

Данная тема так же частично проходится в курсе математики младших классов и проверятся в рамках ОГЭ. В идеале, из курса математики учащиеся должны знать правила сложения и умножения и уметь применять их на практике, при решении простых задач.

Помимо правил сложения и умножения учащимся могут быть полезны следующие знания:

· Подсчёт, нумерация, перечисление комбинаторных объектов

· Поиск оптимальных путей в графе (алгоритм Дейкстры)

· Подсчёт путей в графе (динамическое программирование)

Пример 1 (демо-версия КИМ-2016. Задание 10). Подсчёт количества комбинаторных объектов.

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы П, И, Р, причём буква П появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?

Решение. В данном случае воспользуемся правилом умножения. Выберем место в кодовом слове, на котором будет стоять буква П (5 вариантов), затем заполним остальные 4 места. На каждое из них можно поставить любую из 2 оставшихся букв (4 раза по 2 варианта). Итого: 5*2⁴= 80 вариантов.

Заметно усложнить задачу можно, заменив простой подсчёт кодовых слов на их перечисление или нумерацию (например, в алфавитном порядке).

Слегка изменим условие задачи:

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы К, О, Т, причём буква К появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Затем Игорь выписал все кодовые слова в алфавитном порядке и пронумеровал их. Вот начало этой таблицы:

1. КОООО

2. КОООТ

3. КООТО

4. КООТТ

Определите, под каким номером в таблице стоит слово КТТТО? Определите, какое слово стоит под номером 20? Какое слово стоит в таблице следующим после слова ТОКОТ?

Решение. Очевидно, что в составленной таблице сначала идут слова, начинающиеся на букву К. Оставшиеся буквы можно закодировать цифрами 0 и 1 (О = 0, Т = 1) и рассматривать слово из оставшихся 4 букв как число, записанное в двоичной системе (что совпадёт с алфавитным порядком) от ОООО = 0 до ТТТТ = 15. Тогда слову КТТТО будет соответствовать число ТТТО = 14. Такое слово, очевидно, стоит под номером 15. Затем в таблице пойдут слова, начинающиеся с ОК. Такие слова будут стоять с 17 по 24 строках таблицы и кодируются последними 3 буквами (от ООО до ТТТ). 20-й строке соответствует число 3 и окончание ОТТ. То есть слово в 20 строке – ОКОТТ. Слово ТОКОТ стоит в блоке слов, начинающихся на ТОК (от ТОКОО до ТОКТТ) на 2 месте (ОТ = 01). Следующим за ним будет слово на 3 месте (ТО), то есть это слово ТОКТО.

Более сложные комбинаторные объекты (перестановки, сочетания, разбиения и т.д.) можно найти в задачах районных туров Всероссийской олимпиады школьников по программированию.

Пример 2 (демо-версия КИМ-2016. Задание 15). Подсчёт путей в графе.

На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город М?

Решение (динамическое программирование). Будем заполнять таблицу количеством способов, которым можно попасть в данный город из города А. Первоначально мы знаем, что существует по 1 способу попасть из города А в города Б и Д (других способов, как проехать по дороге из А нет):

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М

Теперь можно посчитать количество способов попасть в Г (из А и Д) – 2 способа:

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М

В город В можно попасть из А (1 способ), Б (1 способ) и Г (2 способа, поскольку есть 2 способа попасть в Г):

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М

Продолжая действовать таким же образом, заполняем, последовательно количество способов для Е, З, Ж, И, К, Л и М:

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М

Для решения данной задачи удобно использовать электронную таблицу. В ячейки таблицы заносятся формулы, соответствующие вычислению количеству способов попасть в данную вершину:

=A2

=A2+B2+D2

=A2+E2

=A2

=B2+C2

…

=I2

=K2+J2

Варианты (данные усложнения в полной мере реализованы в следующем примере):

· Сколько существует различных путей из А в М, проходящих через Ж?

· Сколько существует различных путей из А М не проходящих через Г?

Пример 3. (демо-версия КИМ-2016. Задание 22). Подсчёт путей в графе.

Исполнитель Май15 преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

Прибавить 1

Умножить на 2

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2.

Программа для исполнителя Май15 – это последовательность команд. Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 29 и при этом траектория вычислений содержит число 14 и не содержит числа 25?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.

Решение (динамическое программирование). Несмотря на то, что формулировка задачи отличается от предыдущей, по сути это та же самая задача. Можно нарисовать граф, в котором число 2 будет соединено стрелками с 3 (соответствует первой команде) и 4 (соответствует второй команде), число 3 – с 4 и 6 и т.д. Условие, накладываемое на траекторию означает то, что сначала надо из числа 2 получить число 14, а затем, из 14, число 29, при этом не проходя через число 25.

Решим первую половину задачи, составив таблицу:

3 можно получить только из 2 – 1 способ, 4 из 2 и 3 – 1+1=2 способа, … 14 из 13 и 7 – 10 +3 = 13 способов.

Вторую часть задачи можно решить, составив аналогичную таблицу, в которой будет пропущено число 25. Но можно заметить, что числа 26 и 27 получить из 14, не проходя через 25 невозможно. Следовательно, 28 можно получить только из 14 (13 способов получить из 2), а 29 – только из 28. Таким образом, получается, что число 29 при наложенных ограничениях на траекторию можно получить из 2 всего 13 способами.

Теория чисел в демо-версии КИМ-2016 присутствует только в задании 20, где требуется проанализировать алгоритм, частью которого является алгоритм Евклида вычисления НОД чисел. В КИМ-2015 теоретико-числовые идеи встречались в заданиях 14 (анализ алгоритма для исполнителя) и 18 (знание основных понятий и законов математической логики). Именно теоретико-числовая составляющая, вероятно, и стала наибольшей проблемой для выпускников при решении данных заданий.

НОД и НОК опять-таки изучаются в курсе математики в младших классах. Изучение данных тем, может не включать изучения алгоритма Евклида, свойств НОДа и НОКа, а так же их связей с множествами общих делителей и общих кратных. Так же учащиеся в старших классах, в основном, не помнят свойств делимости и не умеют применять их на практике. Для тренировки таких навыков рекомендуется обратить внимание на задачи 14 и 18 досрочного этапа ЕГЭ-2015 а так же задачи из архива с сайта К.Полякова за 2015 год.

⇐ Предыдущая 12