 |
|
Комбинации цилиндров, конусов, многогранников
1.Цилиндр и конус.
Определение.
Цилиндр (усеченный конус) называется вписанным в конус, а конус – описанным около цилиндра (усеченного конуса), если одно основание цилиндра (усеченного конуса) является сечением конуса, параллельным его основанию, а второе основание цилиндра (усеченного конуса) лежит на основании конуса (причем основание усеченного конуса меньше основания конуса.
|
|
Определение
Конус называется вписанным в цилиндр (в усеченный конус), а цилиндр (усеченный) - описанным около конуса, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра (усеченного конуса), а вершина конуса лежит в центре основания цилиндра (усеченного конуса).
|
|
Определение.
Цилиндр называется вписанным в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около цилиндра, если одно основание цилиндра совпадает с меньшим основанием усеченного конуса, а второе основание цилиндра лежит на большем основании усеченного конуса.
Определение.
Усеченный конус называется вписанным в цилиндр, а цилиндр - описанным около усеченного конуса, если большее основание усеченного конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а меньшее основание конуса лежит на втором основании цилиндра .
|
|
Определение.
Конус называется вписанным во второй конус, а второй конус описанным около первого, если основание первого конуса является сечением второго, параллельным его основанию, а вершина первого конуса совпадает с центром основания второго.
|
Отметим основные факты при перечисленных комбинациях тел вращения:
- оси тел вращения лежат на одной прямой;
- во всякий конус можно вписать бесконечное множество различных
цилиндров (усеченных конусов);
- в цилиндр (усеченный конус) можно вписать только один цилиндр;
- в усеченный конус можно вписать бесконечное множество других
усеченных конусов;
- в цилиндр можно вписать бесконечное множество усеченных
конусов;
- в конус можно вписать сколь угодно других конусов.
Возможны иные комбинации перечисленных выше круговых тел. Например, цилиндр может быть вписанным в конус так, что он боковой поверхностью касается основания конуса, а каждая из окружностей оснований цилиндра касается кроме основания конуса его боковой поверхности в одной или двух точках и т.д.
2.Многогранники и цилиндр.
Определение.
Цилиндр называется вписанным в призму, а призма - описанной около цилиндра, если основания цилиндра вписаны в основания призмы.
|
В призму можно вписать цилиндр, если и только если призма прямая и в ее основание можно вписать окружность.
Во всякую прямую треугольную призму и во всякую правильную призму можно вписать цилиндр и только один.
Определение.
Призма называется вписанной в цилиндр, а цилиндр - описанным около призмы, если основания призмы вписаны в основания цилиндра.
|
Около призмы можно описать цилиндр, если и только если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
Около всякой прямой и около всякой правильной призмы можно описать цилиндр и только один.
Определение.
Цилиндр называется вписанным в пирамиду, пирамида - описанной около цилиндра, если одно основание цилиндра лежит на основании пирамиды, а другое вписано в сечение пирамиды плоскостью этого второго основания.
|
В пирамиду можно вписать цилиндр, если и только если в основание пирамиды можно вписать окружность и основание высоты пирамиды лежит на основании пирамиды.
Во всякую правильную и во всякую треугольную пирамиду можно вписать цилиндр.
Если в пирамиду можно вписать цилиндр, то в нее можно вписать бесконечное множество цилиндров.
Определение.
Цилиндр называется описанным около пирамиды, а пирамида - вписанной в цилиндр, если основание цилиндра описано около основания пирамиды, а второе основание цилиндра содержит вершину пирамиды.
|
Около пирамиды можно описать цилиндр, если и только если около основания пирамиды можно описать окружность и основание высоты пирамиды содержится внутри этой окружности. Около всякой правильной и около всякой треугольной пирамиды можно описать цилиндр.
Определение.
Цилиндр называется вписанным в усеченную пирамиду, а усеченная пирамида - описанной около цилиндра, если одно основание цилиндра вписано в меньшее основание усеченной пирамиды, а второе основание цилиндра лежит на большем основании пирамиды.
|
Цилиндр можно вписать в усеченную пирамиду, если и только если в основании пирамиды можно вписать окружность и любая точка меньшего основания усеченной пирамиды проектируется во внутреннюю область большего ее основания.
Во всякую правильную усеченную пирамиду можно вписать цилиндр. В треугольную усеченную пирамиду можно вписать цилиндр, если любая точка меньшего основания проектируется во внутреннюю точку его большего основания.
Определение.
Цилиндр называется описанным около усеченной пирамиды, а усеченная пирамида - вписанной в цилиндр, если одно основание цилиндра описано около большего основания усеченной пирамиды, а другое основание цилиндра содержит все точки меньшего основания пирамиды.
|
Цилиндр можно описать около усеченной пирамиды, если и только если около ее основания можно описать окружность и все точки меньшего основания пирамиды проектируется вовнутрь окружности, описанной около ее большего основания.
Около всякой правильной усеченной пирамида можно описать цилиндр.
Возможны иные комбинации с многогранниками.
3.Многогранники и конус.
Определение.
Пирамида называется вписанной в конус, а конус - описанным около пирамиды, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса.
Определение.
Усеченная пирамида называется вписанной в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около усеченной пирамиды, если основание пирамиды вписаны в основания конуса.
|
|
Около пирамиды (усеченной пирамиды) можно описать конус (усеченный
конус), если и только если выполняется любое из условий:
- боковые ребра пирамиды равны;
- боковые ребра равно наклонены к плоскости основания;
- около основания пирамиды можно описать окружность, центр которой- основание высоты пирамиды (около оснований усеченной пирамиды можно описать окружности, линии центров которых перпендикулярна их плоскостям).
Определение.
Пирамида называется описанной около конуса, а конус - вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают и основание пирамиды описано около основания конуса .
Определение.
Усеченная пирамида называется описанной около усеченного конуса, а усеченный конус вписанным в усеченную пирамиду, если основания пирамиды описаны около оснований конуса.
|
|
В пирамиду (усеченную пирамиду) можно вписать конус (усеченный конус), если и только если в основание пирамиды можно вписать окружность, центр которой является основанием высоты пирамиды (в основания усеченной пирамиды можно вписать окружности, линия центров которых перпендикулярна основаниям).
Около всякой правильной пирамиды можно описать и во всякую правильную пирамиду можно вписать конус, около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать и во всякую правильную усеченную пирамиду можно вписать усеченный конус.
Определение.
Призма называется вписанной в конус ( усеченный конус), а конус (усеченный конус) - описан около призмы, если одно основание призмы лежит на основании (на большем основании усеченного) конуса, а второе основание призмы вписано в сечение конуса плоскостью этого основания (в верхнее основание усеченного конуса).
|
Во всякий конус можно вписать сколько угодно различных призм.
Определение.
Призма называется описанной около конуса (усеченного конуса), а конус (усеченный конус) - вписанным в призму, если основание призмы описано около окружности основания (около окружности большего основания усеченного) конуса и вершина (все точки меньшего основания усеченного конуса) принадлежат второму основанию призмы.
|
Около всякого конуса можно описать сколь угодно различных призм.
Определение.Пирамида называется вписанной в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около пирамиды, если основание пирамиды вписано в одно основание усеченного конуса и вершина пирамиды лежит на втором основании конуса.
|
В усеченный конус можно вписать сколь угодно пирамид.
Определение.
Пирамида называется описанной около усеченного конуса, а конус - вписанным в пирамиду, если одно основание конуса принадлежит основанию пирамиды , а другое основание конуса вписано в сечение пирамиды плоскостью этого основания (или и другое основание конуса касается всех боковых граней пирамиды).
|
Определение.
Конус называется вписанным в усеченную пирамиду, а пирамида - описанной около конуса, если основание конуса вписано в одно из оснований усеченной пирамиды, а вершина конуса лежит на втором основании пирамиды (42).
|
Конус можно вписать в усеченную пирамиду, если и только если в основание пирамиды можно вписать окружность, ось которой пересекает другое основание усеченной пирамиды.
Определение.
Конус называется описанным около усеченной пирамиды, а пирамида- вписанной в конус, если одно основание усеченной пирамиды принадлежит основанию конуса и ее другое основание вписано в сечение конуса плоскостью этого основания.
|
Около усеченной пирамиды можно описать конус, если и только если около основания пирамиды можно описать окружность.
Во всякую усеченную пирамиду можно вписать два конуса и около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать бесконечное множество конусов.
Возможны иные комбинации конусов и многогранников. Тогда в каждой конкретной задаче на это указывается.
Если цилиндр, конус, усеченный конус вписаны соответственно в призму, пирамиду, усеченную пирамиду, то каждая боковая грань описанного многогранника касается вписанного тела вращения по образующей, которая в то же время является высотой этой боковой грани и проходит через точки касания соответствующих сторон оснований многогранника с окружностью основания тел вращения. Оси названных тел вращения лежат на линии пересечения биссекторов двугранных углов при боковых ребрах перечисленных многогранников.
Если цилиндр, конус, усеченный конус описаны соответственно около призмы, пирамиды, усеченной пирамиды, то каждое боковое ребро многогранника является образующей соответствующего описанного тела вращения. Всякая точка оси тел вращения равноудалена от всех боковых ребер вписанных соответствующих многогранников.
4.Комбинации многогранников.
Определение.
Первый многогранник называется вписанным во второй, а второй - описанным около первого, если все вершины первого многогранника лежат на поверхности второго и каждая грань второго многогранника имеет хотя бы одну точку с первым, причем вне второго (описанного) многогранника нет ни одной точки первого (вписанного) многогранника.
Возможны различные комбинации многогранников. Поэтому в каждой конкретной задаче на комбинации многогранников указывается, как один из данных многогранников вписан в другой.