Класичний метод розрахунку перехідних процесів

Завдання 5

Розрахунок перехідного процесу в розгалуженому електричному колі

Для електричної схеми, що відповідає номеру варіанта(табл.5) і зображеною на

мал. 5.1-5.20, виконати наступне:

1. Визначити закон зміни в часі струму в одній з гілок або напруги на якому-небудь елементі відповідно до завдання.

Розрахунок варто виконати двома методами: класичним і операторним;

2.На підставі отриманого аналітичного вираження побудувати графік зміни шуканої величини у функції часу на інтервалі від t=0 до t=3τ_max, де τ_max- постійна часу, що відповідає меншому по модулю кореню характеристичного рівняння.

Таблиця 5

варіант	Номер схеми	Е	R1	R2	R3	L	C	визначити
В	Ом	Гн	мкФ

						0,1		i₁
						0,105		i₂
						0,175		i₃
						0,1		u_C
						0,1		u_L
						0,12		i_C
						0,11		i₃
						0,2		u_C
						0,125		i₁
						0,115		i₂
						0,150		i_C
						0,1		u_L
						0,225		i₁
						0,12		i₂
						0,1		i₃
						0,105		u_C
						0,15		i_C
						0,175		i₂
						0,2		i₃
						0,1		u_L
						0,15		i₂
						0,12		i₁
						0,1		i₂
						0,105		u_C
						0,2		i_C
						0,1		i₂
						0,105		i₃
						0,175		u_L
						0,1		i_C
						0,1		i₂
						0,12		i₃
						0,11		u_C
						0,2		i₁
						0,125		i₂
						0,115		i₃
						0,150		u_C
						0,1		i₁
						0,225		i₂
						0,12		i₃
						0,1		u_C
						0,105		i₃
						0,15		u_C
						0,175		i₁
						0,2		i₂
						0,1		i₁
						0,15		i₁
						0,12		i₃
						0,1		i₂

						0,105		i₁
						0,2		u_C

Методичні вказівки до виконання завдання

Класичний метод розрахунку перехідних процесів

Класичний метод розрахунку перехідних процесів полягає в тім, що перехідна величина представляється як сума двох доданків: примушеної й вільної:

або

Тут i_пр та u_пр - складові примушеного режиму

i_в та u_в - складові вільного режиму

Примушені складові відповідають сталому режиму й можуть бути знайдені звичайними методами розрахунку для кола після комутації. Вид примушених складових струму або напруги залежить як від форми ЕРС діючих у колі джерел, так і від конфігурації самого кола.

Вільна складова обумовлюється енергією, що являє собою різницю запасів між усталеними режимами до й після комутації. Запас енергії кола мають тільки реактивні елементи. Вільни величини змінюються з часом за експоненціальними затухаючими функціями.

Вільний струм схеми n-ного порядку має n незалежних складових

f(t)_в=

Вид вільних складових визначається видом коренів p_k(k=1,2,...n) характеристичного рівняння схеми. Число коренів характеристичного рівняння дорівнює ступені цього рівняння.

Кожному кореню відповідає власна функція.

Рівняння першого ступеня завжди має один дійсний негативний корінь і в цьому випадку вільний струм виражається так:

Рівняння другого ступеня може мати:

а) два дійсних рівних негативних корені (р₁=р₂=р)

вільний струм визначається рівнянням

б)два дійсних нерівних негативних корені (р₁≠р₂)

вільний струм визначається рівнянням

в)два комплексних сполучених корені з негативною дійсною частиною

(р₁= -δ +j ω; р₂= -δ -j ω)

вільний струм має вигляд загасаючих синусоїдальних коливань із кутовою частотою ω і початковою фазою ψ. Множник відповідає огибающей коливань

Величини А, А₁,А₂,ψ - постійні інтегрування, значення яких визначаються з початкових умов.

Характеристичне рівняння дістають із відповідного диференціального рівняння в якому символи диференціювання заміняють множником р¹=р, символи інтегрування - множником = р^-1і дорівнюють рівняння до нуля.

Наприклад, характеристичне рівняння одержимо з рівняння

E = i+L + ,

у якому замінимо на р,

на ,

i на р⁰ =1

і дорівняємо отримане рівняння до нуля:

0=R+pL+ .

Більш просто скласти характеристичне рівняння можна, якщо знайти характеристичний вхідний опір кола й дорівняти його до нуля. При цьому опір котушок індуктивності позначають як pL, опір конденсаторів як .

Постійні інтегрування визначаються з початкових умов.

У якості незалежних початкових умов приймають величини струмів, що протікають через кожну котушку й напруг на конденсаторах у момент комутації при t=0. Ці величини визначають за законами комутації: струми котушок і напруги на конденсаторах є безперервними функціями часу, тобто не змінюються стрибками

i₍₀_-₀_-)= i₍₀₊₎

u₍₀_-₀_-)= u₍₀₊₎

Приклад розрахунку

Розглянемо приклади розрахунку повних перехідних струмів і напруг для трьох варіантів коренів характеристичного рівняння

1)корені дійсні однакові

2)корені дійсні різні

3)корені комплексні

Задача1.1.Корені характеристичного рівняння однакові

Для заданої схеми(мал.5-21) визначити закон зміни в часі струмів у гілках і напруги на конденсаторі, якщо Е=200В, R₁=30 Ом, R₂=10 Ом, L=0,1Гн, C=1000мкФ, конденсатор був попередньо заряджений до напруги100В.

1.Розрахунок напруги на конденсаторі

Представимо напругу на конденсаторі як суму примушеної й вільної складових

u_С=u_Спр+u_Св

Розрахункова схема(мал.5-22) для визначення примушеної складової:

Після замикання ключа в сталому режимі струм i₃=0,

струми i₁та i₂рівні один одному й напруга на конденсаторі дорівнює напрузі на другому резисторі u_Спр=

Для визначення коренів характеристичного рівняння складемо розрахункову схему(мал.5-23), знайдемо її характеристичний вхідний опір Z(p) і дорівняємо його до нуля.

ZZ(p)= = 0

p₁= p₂= р = -200

Вільна складова напруги буде мати вигляд

Постійні інтегрування А₁ і А₂знаходять із початкових умов,

для чого складемо два рівняння:

Запишемо ці рівняння для початкового моменту часу t=0 і одержимо систему із двома невідомими - А₁ і А₂:

де u_c(0)–величина напруги на конденсаторі в момент комутації ( при t=0)

Відповідно до другого закону комутації, напруга на конденсаторі не може змінюватися стрибком, тобто напруга відразу після комутації дорівнює напрузі до комутації

u_c(-0)=u_c(0)

Так як. за умовою завдання конденсатор був попередньо заряджений, то напруга до комутації u_c(0)= -100В.

Для рішення системи необхідно знайти - швидкість зміни напруги на конденсаторі в початковий момент часу. Цю швидкість можна визначити з формули струму через конденсатор .

Тоді для заданої схеми

По I законі Кирхгофа i₃₍₀₎= i₁₍₀₎– i₂₍₀₎

Так як у першій гілці є котушка, то струм i₁₍₀₎у початковий момент комутації дорівнює току через котушку до комутації i_1(-0)і цей струм дорівнює

i₁₍₀₎= i_1(-0)= .

Струм другої гілці в початковий момент часу

i₂₍₀₎= .

Звідси i₃₍₀₎= 5-5-(-10) =15А

Похідна напруги

Підставимо в систему числові значення

вирішивши систему, одержимо значення: А₁= -150, А₂= -15*10³

Вільна складова напруги

В.

Остаточно закон зміни в часі напруги на конденсаторі

u_С=u_Спр+u_Св = В.

2.Розрахунок струмів у гілках

Струм третьої гілці = =

= А.

Струм другої гілці

= = А.

Струм першої гілці

i₁= i₂+ i₃= + = А.

Задача 2.1. Корені характеристичного рівняння різні

Для цієї ж схеми (мал.5-21)визначити струми в гілках і напруги на конденсаторі, якщо Е=200В,R₁=30 Ом, R₂=10 Ом, L=0,1Гн, C=2000мкФ, конденсатор був попередньо заряджений до напруги 100В.

1.Напруга на конденсаторі

u_С=u_Спр+u_Ссв

u_Спр=

Тому що конфігурація схеми така ж, як і в попередній задачі, то вид її характеристичного рівняння не зміниться, але числові значення коефіцієнтів будуть інші.

р₁=-72 р₂= -278

Вільна складова напруги на конденсаторі буде мати вигляд

Постійні інтегрування визначимо з початкових умов, для чого складемо два рівняння

запишемо ці рівняння для початкового часу(t=0)

(значення i₃₍₀₎=15А було розраховано в попередньому прикладі)

підставивши числові значення, одержимо

У результаті рішення системи одержимо відповідь

А₁= -166 А₂= 16

Т.ч. вільна складова напруги на конденсаторі

повна перехідна напруга на конденсаторі

2. Струми в гілках

Струм третьої гілці =

i₃₍₀₎= =

Струм другої гілці

= = А

Струм першої гілці

i₁= i₂+ i₃= + = А

Задача3.1. Корені характеристичного рівняння комплексні

Для цієї ж схеми (мал.5-21)визначити струми в гілках і напруги на конденсаторі, якщо Е=200В,R₁=30 Ом, R₂=10 Ом, L=0,5Гн, C=1000мкФ, конденсатор був попередньо заряджений до напруги 100В.

1.Напруга на конденсаторі

u_c=u_cпр+u_cв

u_cпр=

Характеристичне рівняння має вигляд( див. приклад1.1.)

підставимо числові значення