Главная | Обратная связь

Задачі для самостійного розв’язування

І РІВЕНЬ

Рис. 3.7

3.1.1. Вантаж масою 50 кг притиснутий до вертикальної стіни силою 118 Н. Яку мінімальну силу потрібно прикласти до вантажу, щоб утримати його в спокої; щоб піднімати рівномірно вгору? Коефіцієнт тертя спокою дорівнює 0,3. Що буде відбуватися з вантажем, якщо у вертикальному напрямі прикладати силу 460 Н? 490? Якою буде при цьому сила тертя?

3.1.2. Який вантаж можна утримати на похилій площині довжиною 1 м і висотою 0,5 м силою 49 Н, напрямленою паралельно до похилої площини, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,4? Як зміниться відповідь, якщо силу прикладати перпендикулярно до похилої площини?

3.1.3. Система вантажів знаходиться в рівновазі, рис. 3.7. Знайдіть масу вантажу, розташованого на похилій площині, і силу, з якою він тисне на площину, якщо маси двох інших вантажів і кут нахилу площини до горизонту відомі. Масою ниток і тертям знехтувати.

Рис. 3.8

3.1.4. На двох площинах, нахилених під кутом до горизонту, лежать три куба масою кг кожен, рис. 3.8. Яку мінімальну силу потрібно прикласти у вертикальному напрямі до нижнього куба, щоб систему зрушити з місця? Коефіцієнт тертя між кожною парою площин, що стикаються, дорівнює .

3.1.5. Три ідеально гладких труби масою кожна лежать на похилій площині, як вказано на рис. 3.9. Яку мінімальну силу потрібно прикласти до крайньої труби, щоб система знаходилася у рівновазі?

Рис. 3.9

3.1.6. Куля висить на нитці, спираючись на стінку. Точка, в якій закріплена нитка, знаходиться на стінці на одній вертикалі з точкою опори кулі. При якому мінімальному коефіцієнті тертя між кулею і стінкою точка, де нитка закріплена до кулі, буде знаходитись на одній вертикалі з його центром ваги? Розв’язати задачу двома способами:

а) додаванням сил;

б) правилом моментів.

Рис. 3.10

3.1.7. Якої довжини потрібно взяти нитку, щоб підвісити на ній коло стіни кубик з ребром , як показано на рисунку? Коефіцієнт тертя між стінкою і кубиком дорівнює .

3.1.8. Ромб виготовлений з однорідних стержнів масою кожен, з’єднаних шарнірно. Середини сторін і з’єднані легким стержнем розпіркою. Гострий кут ромба . Ромб підвішений в точці . З якою силою стискається розпірка?

3.1.9. На яку висоту може піднятися по триметровій драбині людина масою 60 кг, якщо драбина стоїть під кутом 30⁰ до ідеально гладкої стіни? Маса драбини 20 кг, коефіцієнт тертя ковзання між підлогою і драбиною 0,5.

3.1.10. Дві тонкі палички, маси яких і , встановлені перпендикулярно одна до одної. Палички можуть вільно обертатися в шарнірах і . При якому мінімальному коефіцієнті тертя між паличками система буде знаходитися в рівновазі? Яка буде при цьому сила тиску, що дії на шарнір ?

3.1.11. Знайти положення центра ваги трикутника, складеного з тонких однорідних дротинок довжиною 3,4 і 5 см.

3.1.12. Квадрат з однорідного дроту, в якого відрізана одна сторона, підвішений на цвях. Який кут утворить середні сторона з вертикаллю?

3.1.13. Однорідна пластинка має форму рівностороннього трикутника з стороною 16 см. В пластинці вирізаний круглий отвір радіусом 2 см. Визначте положення центра ваги отриманої фігури при умові, що центр отвору лежить на відрізку висоти, опущеної з вершини трикутника, а краї отвору дотикаються до сторін трикутника.

3.1.14. В циліндрі радіусом на відстані від центра просвердлений отвір радіусом паралельно до осі циліндра. Отвір залито металом, густина якого в 5 разів більша за густину речовини циліндра. Циліндр лежить на дощечці. Коефіцієнт тертя між циліндром і дощечкою 0,3. На який максимальний кут можна нахилити дощечку, щоб циліндр знаходився на ній в рівновазі?

3.1.15. На підлозі лежить стержень масою і довжиною . Яку мінімальну роботу потрібно виконати, щоб стержень повернути на підлозі на кут навколо одного з його кінців? Коефіцієнт тертя між стержнем і підлогою . Які мінімальні сили потрібно прикласти до кінців стержня, щоб обертати його зі сталою кутовою швидкістю навколо середини стержня?

3.1.16. На ідеально гладкій горизонтальній площині лежить обруч масою і радіусом . По обручу починає повзти жук масою . Які траєкторії описують центр обруча і жук? На яку відстань зміститься жук відносно свого початкового положення, пройшовши четверту частину кільця?

3.1.17. Колода радіусом лежить на колоді радіуса так, що осі колод перпендикулярні одна одній. При якому співвідношенні між радіусами колод їх рівновага стійкіша? На який максимальний кут можна відхилити верхню колоду без проковзування, якщо коефіцієнт тертя між колодами дорівнює .

3.1.18. Якою повинна бути висота циліндра радіуса , закріпленого на півкулі того ж радіуса і матеріалу, щоб вся фігура знаходилася в стані байдужої рівноваги? Центр ваги півкулі лежить на відстані від площини перерізу кулі.

3.1.19. Дві ідеально гладких кулі, радіуси яких 5 і 10 см, підвішені в одній точці на легких нитках довжиною 45 і 40 см. Чому дорівнює натяг ниток і сила тиску однієї кулі на іншу, якщо маси куль відповідно дорівнюють 50 і 100 г?

3.1.20. Стержень довжиною , складений з двох однорідних шматків однакової довжини, маси яких відповідно дорівнюють і , підвішені за кінці на двох легких нитках довжиною (див. рисунок). Який кут утворить стержень з горизонтом в положенні рівноваги? Яку силу потрібно прикласти до стержня, щоб він знаходився в горизонтальному положенні?

 

ІІ РІВЕНЬ

Рис. 3.11

3.2.1. Важіль вигнуто так, що його сторони і утворюють прямі кути. Вісь важеля в точці .Сила прикладена перпендикулярно до в точці . Визначити мінімальне значення сили, яку потрібно прикласти до плеча , щоб важіль знаходився в рівновазі. Масою важеля знехтувати.

 

Рис. 3.12

3.2.2 В якій з двох мотузок, зображених на рисунку, центр ваги розташований вище? Мотузка на рис. а висить вільно, на рис. б утримується в натягнутому стані зовнішньою силою . Мотузки мають однакову довжину, а точки їх закріплення розташовані на одному рівні.

3.2.3 Драбина спирається на вертикальну стіну і підлогу. При яких значеннях кута між драбиною і підлогою вона може стояти, якщо коефіцієнти тертя драбини об підлогу і об стіну дорівнюють і відповідно.

Рис. 3.13

3.2.4 В гладкій сферичній чаші лежить невагомий стержень з точковими масами кг і кг. Довжина стержня дорівнює , де - радіус сфери. Визначити, під яким кутом до лінії горизонту розташований стержень.

Рис. 3.14

3.2.5 При якому відношенні мас призми і циліндрів циліндри будуть розкочуватись по горизонтальній поверхні при умові, що між призмою і циліндрами немає проковзування, рис. 3.14. Коефіцієнт тертя між циліндрами і поверхнею ; кут між бічною гранню призми і вертикальною віссю симетрії . При яких значеннях коефіцієнта тертя між призмою і циліндром можливе здійснення такої ситуації?

Рис. 3.15

3.2.6 Драбину приклали до гладкої стінки. При якій мінімальній величині кута між драбиною і підлогою драбина ще не буде падати, якщо коефіцієнт тертя між драбиною і підлогою дорівнює ?

3.2.7 Картина масою , яку можна вважати однорідним тілом, підвішена до стінки на нитці, як показано на рис 3.15. Кут між площиною картини і ниткою – прямий. З якою силою картина діє на стінку? Куди напрямлена ця сила?

Рис. 3.16

3.2.8 Однорідний стержень масою утримується нерухомо під кутом до горизонту з допомогою підставки у вигляді призми і перпендикулярної до нього стіни, рис. 3.16. Тертя між стержнем і підставкою відсутнє. З якою силою стержень діє на стіну? Куди напрямлена ця сила.

3.2.9 Котушку, що знаходиться на горизонтальній поверхні, тягнуть за чотири намотані на неї нитки. Сили прикладаються під кутами до лінії горизонту , , , . Величини сил відносяться як . Відношення радіуса ободу котушки і радіуса циліндра, на який намотані нитки, . Проковзування відсутнє. В який бік покотиться котушка?

Рис. 3.17

3.2.10 При якому відношенні мас призми і циліндрів циліндри будуть ковзати по горизонтальній поверхні і не будуть котитися, рис. 3.17? Розглянути два варіанти початкових умов:

а) кут між бічною гранню призми і вертикальною віссю симетрії , коефіцієнти тертя між призмою і циліндрами , між циліндрами і поверхнею ;. б) , , .

Рис. 3.18

3.2.11 Куля масою 5 кг спирається на дві гладкі площини, рис. 3.18, причому ліва утворює з горизонтом кут , а права – кут . Визначте сили, з якими куля тисне на площини. Як зміниться розв’язок задачі, якщо ?

Рис. 3.19

3.2.12 В гладку циліндричну склянку поміщена паличка довжиною см і масою 30 г, рис. 3.19. З якими силами діє паличка на дно і стінки склянки, якщо радіус дна см? Тертям знехтувати.

3.2.13. а) Коло гладкої стінки стоїть драбина. Коефіцієнт тертя драбини об землю .Центр ваги драбини знаходиться в її середині. Визначте найменший кут , який драбина може утворювати з горизонтом, не падаючи.

б) Припустимо, що драбина поставлена в таке положення, що найменше зменшення кута повинно спричинити її падіння. Чи впаде драбина, якщо людина встане на її нижню сходинку? На її верхню сходинку?

3.2.14. Яку роботу потрібно виконати, щоб повернути на сусідню грань суцільний залізний куб, маса якого дорівнює 200 кг?

3.2.15. Ящик у формі куба переміщають на деяку відстань спочатку волоком, а другий – кантуванням (тобто перекиданням через ребро). Коефіцієнт тертя ящика об підлогу при ковзанні дорівнює ; тертям при кантуванні можна знехтувати. При якому значенні роботи по переміщенню волоком і кантуванні однакові?

3.2.16. Метрова лінійка з сантиметровими поділками балансує на вістрі ножа, покладеного навпроти п’ятдесяти сантиметрової поділки лінійки. Якщо дві п’ятикопієчні монети покладені одна на одну проти дванадцятої поділки, то навантажена лінійка буде збалансована, коли вістря ножа буде знаходитися між сорок п’ятою і сорок шостою поділками. Кожна монета має масу 5 г. Визначте масу лінійки.

Рис. 3.20

3.2.17. Однорідна куля вагою і радіусом ковзає по підлозі під дією сталої горизонтальної сили , рис. 3.20, прикладеної до нитки. Покажіть, що якщо коефіцієнт тертя між кулею і підлогою дорівнює , то висота точки прикладання сил задається рівністю: .

Рис. 3.21

3.2.18. Тонка дощечка , рис. 3.21, довжиною і дуже малою вагою утримується в горизонтальному положенні штирком, що входить в стіну коло точки , і тонкою дротинкою , що утворює з горизонталлю кут . Вздовж може переміщуватись вантаж , причому його положення визначається відстанню , яка відлічується від стіни.

а) знайдіть розтягуючи зусилля в дротині як функцію .

б) знайдіть горизонтальну і вертикальну складові сили, що діють на дощечку з боку штирка.

3.2.19. Автомобіль масою 1,35 т має колісну базу довжиною 3,05 м. Центр ваги розташований в 1,78 м позаду передньої осі. Визначте силу, що діє на кожне з передніх коліс і на кожне із задніх коліс з боку горизонтальної поверхні землі.

 

ІІІ РІВЕНЬ

3.3.1 Ваги зроблені з твердого стержня, що може повертатися навколо точки, що не співпадає з його центром ваги. На кінцях стержня підвішені чашки нерівної ваги. Якщо тіло невідомої маси покласти на ліву чашку, то воно зрівноважиться масою , покладеною на праву чашку. Аналогічно, якщо маса покладена на праву чашку, то вона зрівноважиться масою , покладеною на ліву чашку. Доведіть, що і сформулюйте припущення, які доведеться зробити в ході доведення.

Рис. 3.22

3.3.2 Довжина драбини 2,4 м, рис. 3.22, а довжина стяжки на половині її довжини дорівнює 0,76 м. Людина вагою 87 кг залазить на драбину до 1,8 м її довжини. Приймаючи, що підлога гладка, і нехтуючи вагою самої драбини, знайдіть натяг в стяжці і сили і , що діють з боку підлоги на драбину.

3.3.3 Чан подібний на частину порожнистої сфери радіуса . Крутизна верхньої частини стінки чана така, що комаха ледве може виповзти з нього. Якщо коефіцієнт статичного тертя між поверхнею чану і ніжками комахи дорівнює , то яка глибина чану?

3.3.4 Тіло підвішене до геометричного центра куба за допомогою трьох ниток. Дві з них йдуть від центра до суміжних кутів верхньої грані куба, а третя до середини протилежного ребра тієї ж грані. Сила натягу нитки, що йде до одного з кутів, дорівнює 10 Н.

а) чому рівна вага підвішеного тіла?

б) Яким буде початкове прискорення тіла, якщо нитку, що веде до середини ребра куба, перерізати?

Рис. 3.23

3.3.5 Довжина першої пружини в недеформованому стані 0,5 м, а другої – 1,0 м. Коефіцієнти жорсткості пружин відповідно рівні Н/м і Н/м. Пружини з’єднані одними кінцями разом, а другими – прикріплені до стінок, відстань між якими 2,0 м. Які довжини і кожної з пружин у деформованому стані?

3.3.6 Дві однакових гладких кулі, кожна масою 45,4 кг, покладені, як показано на рис. 3.23. Вважаючи поверхні опорних стінок абсолютно гладкими, знайдіть реакції в точках , якщо пряма, що сполучає центри куль, утворює з горизонталлю кут в 30⁰.

Рис. 3.24

3.3.7 Покажіть, що положення однорідної лінійки, зображеної на рис. 3.24, нестійке. Лінійка вагою і довжиною підтримується на кінцях двома гладкими похилими площинами так, як показано на рисунку.

3.3.8 Людина масою , залишаючись на місці, тягне за мотузку вантаж масою . Коефіцієнт тертя . При якій найменшій силі натягу мотузки вантаж може зрушити з місця? Під яким кутом повинна бути натягнута мотузка?

3.3.9 Однорідний прямокутник з основою , висотою і вагою , лежить на шорсткій горизонтальній площині з коефіцієнтом тертя . Яким умовам задовольняє величина сили , для якої прямокутник знаходиться в рівновазі при будь-якому значенні кута з інтервалу ?

Рис. 3.25

3.3.10 Три однакових циліндри, осі яких паралельні, дотикаються один до одного твірними. Два циліндри з трьох лежать на шорсткій площині, третій знаходиться на них зверху. Знайти мінімальний кут між напрямком сили, що діє з боку площини на циліндри, і вертикаллю, при якому циліндри ще не розійдуться.