Главная | Обратная связь

Степенная ( полиномиальная ) аппроксимация

 

Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами

. (4)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки , называемой рабочей. Тогда используют степенной полином.

. (5)

Определить коэффициенты полинома (4) можно различными способами. При среднеквадратичном приближении они находятся из условия , где определяется формулой (2).

Из математики известно, что минимум функции нескольких переменных достигается при равенстве нулю производных функции по ее параметрам, т.е. при , . Если подставить в формулу (2) выражение степенного полинома, вычислить производные

l=0, 1 ,… , N,

И приравнять их к нулю, то получим, что коэффициенты , дающие наилучшее среднеквадратичное приближение, находятся из решения следующей линейной системы уравнений:

, . (6)

При этом число точек u=u_k, в которых оценивается приближение, может быть гораздо больше числа коэффициентов .

Применение метода интерполяции (метода выбранных точек), когда добиваются совпадения и в выбранных точках u=u_k, приводит к линейной системе уравнений

, , (7)

Из которой и находятся коэффициенты . В этом методе число выбранных точек (узлов интерполяции) должно совпадать с числом коэффициентов.

Существуют также способы определения коэффициентов степенного полинома путем минимизации чебышевской погрешности (1), использования разложения в ряд Тейлора и др. Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия, поэтому требуется достаточно точное воздействие нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Пример. На рис 4 кружочками показана полученная экспериментально характеристика , т.е. зависимость тока базы от напряжения между базой и эмиттером для транзистора КТ301. Осуществим постепенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки .

Коэффициенты , , и полинома найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям , и составим систему уравнений (7):

Решение этой системы дает , , . Кривая тока проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (рисунок 4 кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при ) плохо «ложатся» на эту кривую. Кроме того, нас не устраивает изгиб в нижней части характеристики.

Более лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким―либо другим методом для определения коэффициентов , , и . Попробуем найти эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока ко всем пяти экспериментальным значениям. Составим уравнения (6):

Решение этой системы уравнений α₀ =0,164 мА, α₁=1,07 мА/В и α₂=2,069 мА/В².

График тока показана на рисунке (кривая 2). Эта характеристика является, по―видимому, более приемлемой для аналитического описания экспериментальных результатов.

 

 

Рисунок 4― зависимость для транзистора КТ301

 

1.3 Кусочно―линейная аппроксимация

 

В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции. Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами.

С математической точки зрения это означает, что на каждом заполняемом участке характеристики используются степенные полиномы (4) первой степени ( ) с различными значениями коэффициентов и .

Пример. На рисунке 5 (кривая 1) проведен график экспериментальной зависимости транзистора КТ306. Выполним кусочно―линейную аппроксимацию этой зависимости.

Используя полином первой степени , осуществим аппроксимацию заданной зависимости в окрестности точки и определим коэффициенты по методу Тейлора (3):

Величина ― ток в рабочей точке ― в соответствии с экспериментальными данными равна 1,2 мА. Крутизну рабочей точке можно найти приближенно методом приращений:

.

 

 

 

Рисунок 5― зависимость iБ=F(uБЭ) транзистораКТ306

 

В результате аппроксимации имеем

.

Видно, что при <0,5 B ток принимает отрицательные значения, что не согласуется с экспериментальной зависимостью. Таким образом, полученный полином будет аппроксимировать заданную зависимость на участке >0,5. На участке же можно выбрать полином первой степени с нулевыми коэффициентами, т.е. . Итак, аппроксимирующая функция (рисунок 5, кривая 2) запишется в виде

Подобная аппроксимация применяется довольно часто, поэтому представим эту зависимость в более общей форме:

где напряжение называется напряжением отсечки.