Примеры решения задач

Задача 4. В вершинах прямоугольника ABCD (рис. 4) со сторонами АВ = 6 см, ВС = 4 см находятся точечные заряды: q_A = 20 мкКл и q_c = -30 мкКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, расположенной в середине стороны CD.

Дано: q_A = 20 мкКл = 20×10^-⁶ Кл q_c = -30 мкКл = -30×10^-⁶ Кл а = АВ = 6 см = 6×10^-² м b = ВС = 4 см = 4×10^-² м

Найти: Е, b.

Решение. Вектор напряженности в каждой точке поля совпадает по направлению с силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку. Исходя из этого расставим направление векторов и (см. рис. 4) в искомой точке. Согласно принципу суперпозиции

= + . (22)

Модуль вектора можно найти, если известны его проекции на оси:

(23)

Oх: Е_x = Е_С + Е_A cos a;

Oу: Е_у = Е_A sin a.

Напряженность электрических полей точечных зарядов q_A и q_С найдем по формулам:

; (24)

, (25)

а тригонометрические функции определим из чертежа (см. рис. 4):

cos a = (26)

; sin a = .

Подставим правые части уравнений (24), (25) и (26) в формулу (23) и рассчитаем проекции Е_x и Е_у:

; (27)

Е_x = 34×10⁷ В/м;

; (28)

Е_у = 5,8×10⁷ В/м.

Модуль результирующей напряженности

(29)

Е = 3,45×10⁶ В/м.

Направление результирующей напряженности определим через ее компоненты: tg b = ; tg b = 0,17; b = 9,7°.

Ответ: Е = 3,45×10⁶ В/м; b = 9,7°.

Задача 5. Круг радиусом 15 см помещен в однородное электрическое поле напряженностью 0,36 мВ/м (рис. 5). Чему равен поток вектора напряженности, проходящий через площадку, ограниченную кругом, если она: 1) перпендикулярна силовым линиям; 2) составляет угол 45° с ними; 3) параллельна им?

Дано: R = 15 см = 0,15 м Е = 0,36 мВ/м = 3,6×10^-⁴ В/м

Найти: Ф_е.

Решение. Согласно формуле (19) поток вектора напряженности

Ф_е = ES cos a = EpR²cos a, (30)

где a – угол между нормалью к поверхности круга и вектором напряжен-ности электрического поля ;

R – радиус окружности.

Вычисляем: 1) a = 0°; Ф_е = 25 мкВ×м; 2) a = 45°; Ф_е = 18 мкВ×м; 3) a = 90°; Ф_е = 0.

Ответ: 1) a = 0°; Ф_е = 25 мкВ×м; 2) a = 45°; Ф_е = 18 мкВ×м; 3) a = 90°; Ф_е = 0.

Задача 6. Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плот-ностью -6 нКл/м, находится на расстоянии 20 см от центра шара радиусом 1 см, заряженного с поверхностной плотностью 0,5 мкКл/м². Перпендикулярно нити расположена бесконечная плоскость, заряженная с поверхностной плот-ностью 18 пКл/м² и расположенная снизу шара. Найти величину и направление напряженности создаваемого ими электрического поля в точке А, расположенной на расстоянии 25 см от нити и 10 см от центра шара. Центр шара, нить и точка А лежат в одной плоскости (рис. 6).

Дано: d = 20 см = 0,2 м t = -6 нКл/м = -6×10^-⁹ Кл/м R = 1 см = 10^-² м s₁ = 0,5 мкКл/м² = 5×10^-⁷ Кл/м² s₂ = 18 пКл/м² = 18×10^-¹² Кл/м² r₁ = 2,5 см = 0,25 м r₂ = 10 см = 0,1 м

Найти: Е, b.

Решение. Укажем направление векторов напряженностей электрических полей, создаваемых каждым заряженным телом, в точке А. Согласно принципу суперпозиции напряженность результирующего поля

= + + . (31)