Вынужденные колебания ЭПЖГ

Основные уравнения

Уравнение непрерывности для плотностей двух электронных спиновых компонент r_s (числа частиц, отнесенных к единице длины ЭПЖГ):

, (1)

где - поток соответствующей спиновой компоненты, штрихом обозначаем производную по единственной в задаче пространственной координате. – оператор приводящих к перевороту спина (спин-флипу) столкновений, который в предположении о быстро устанавливаемом внутри каждой спиновой компоненты локальном равновесии можно записать в виде:

, (2)

здесь величина s, нумерующая спиновые компоненты, принята равной ½ для спина, направленного по направлению магнитного поля, и -½ для противоположного направления, - энергия зеемановского расщепления ( , – напряженность магнитного поля, - магнетон Бора). Оператор столкновений зануляется равновесным больцмановским распределением спиновых компонент: .

Уравнение баланса импульса для спиновых компонент (аналог уравнений Эйлера), линеаризованное по скорости дрейфа компонент u_s, запишем в виде:

(3)

Здесь скорость дрейфа определена соотношением , - потенциал электрического поля, – масса электрона, – температура. Матрица пропорциональна электросопротивлению двухкомпонентной электронной жидкости в однородном случае (коэффициент пропорциональности ) и, согласно Фленсбергу [9]

(4)

где – символ Кронекера, величины – электросопротивления отдельных спиновых компонент, связанные с рассеянием носителей на несовершенствах структуры, величина пропорциональна частоте электрон-электронных столкновений : . В уравнении (3) – давление, создаваемое компонентой электронного газа, его неидеальность учитывается соответствующим вкладом в потенциал электрического поля; слагаемое с учитывает затухание дрейфа, связанное с потерей импульса на дефектах, и трение друг о друга спиновых компонент. Заметим, что в отличие от обычных уравнений гидродинамики смеси жидкостей, в которых скорости компонент полагаются одинаковыми вследствие частых столкновений между частицами смеси (см., например, [1,2]), в данной задаче возможно заметное различие скоростей. Суммируя (3) по , получаем аналог уравнения Эйлера для смеси компонент:

= - , (5)

индексы , ¯ обозначают компоненты со спином по и против магнитного поля соответственно, , .

Уравнение баланса тепловой энергии нетрудно вывести из кинетического уравнения методом, использованным в [1]

, (6)

где – размерность пространства импульсов для ЭПЖГ, величина имеет смысл коэффициента температуропроводности ЭПЖГ ( – характерная скорость электрона).

Электронное кольцо

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях в кольце из ЭПЖГ, линейную по и добавкам и к равновесным значениям соответствующих величин. При этом, как и в [1], считаем полную электронную плотность неизменяемой функцией координаты , заданной внешними электростатическими условиями. Пренебрегая спин-флипом и теплопроводностью, имеем из (1), (5), (6) в линейном приближении

, (7)

, (8)

, (9)

здесь частота колебаний, равновесные относительно приложенного магнитного и статического электрического полей значения плотностей (неоднородность плотности предполагает наличие статического электростатического потенциала ). Поскольку при собственных колебаниях скорости обеих компонент можно считать равными [1], то , подставляя величины из (7) и из (9) в (8) и интегрируя (8) по координате, находим частоту собственных колебаний:,

= (10)

В (10) первое слагаемое в фигурных скобках связано со взаимодействием создаваемой током неравновесной спиновой поляризации с неоднородным магнитным полем, т.е. «возвращающая сила» аналогична рассмотренной в работе [1]. Второе слагаемое обязано тепловому эффекту и появляется, если плотность электронов неоднородна. Подчеркнем, что обусловленные тепловым эффектом колебания имеют место и в отсутствие магнитного поля.

Таким образом, наличие неоднородного магнитного поля является условием возникновения спин-электрических колебаний, затухание которых определяется процессами спин-флипа (а также спиновой диффузии и рассеяния с потерей импульса [1]); а наличие внешних зарядов, создающих неоднородность электронной плотности, - термоэлектрических колебаний, затухание которых не связано со спин-флипами. Время затухания последних , – длина окружности кольца, – время свободного пробега относительно столкновений с потерей импульса; здесь также учтен уход тепла из ЭПЖГ в гелий, - частота ухода.

Вынужденные колебания ЭПЖГ

Приложение к ЭПЖГ неоднородного магнитного поля в схеме эксперимента с вынужденными колебаниями ЭПЖГ, изображенной на рис., позволяет исследовать эффекты, связанные со спином электронов. Как следует из (1), (3), и это нетрудно понять из физических соображений, при частотах приложенного к ЭПЖГ электрического поля t_sf^-1<<w<<n l_ee/L² ( ), за период колебаний диффузия электронов успевает установить для каждой спиновой компоненты равновесное в приложенных полях распределение электронов по всей ЭПЖГ . Плотность спиновых компонент при этом: , , dr_s<<dr. Здесь - равновесная плотность компонент в отсутствие переменного электрического потенциала, , dr - перераспределение плотности под влиянием переменного потенциала электродов, - неравновесная добавка к плотности, константа определяется из условия постоянства полного количества электронов каждой компоненты: . При этом дрейфовые скорости (интегрирование ведется от левого края ЭПЖГ) вследствие неоднородности оказываются различными для разных спиновых компонент. Т.е. имеет место сильное трение компонент друг о друга, что приводит к значительному увеличению электросопротивления ЭПЖГ: в однородном поле сохраняющие импульс электрон-электронные столкновения не приводят к сопротивлению и оно пропорционально , при наличии градиента сопротивление пропорционально . При указанных выше неравенствах из (1), (3), (4) и условия электронейтральности получим

(11)

где связанная с неоднородностью магнитного поля осциллирующая добавка к потенциалу. Положив для оценки и считая плотность не зависящей от , имеем из (13) для добавки к разности потенциалов на концах ЭПЖГ:

(12)

При частотах w>>nl_ee/L² разностью скоростей компонент можно пренебречь (т.е. положить ) и добавку к потенциалу, связанную с неоднородностью магнитного поля, найдем из (7), (8):

(13)

Таким образом, приложение неоднородного магнитного поля приводит к появлению добавок к действительной и мнимой части электросопротивления, определяемой формулами (11)-(13), причем эти добавки «включаются» после момента приложения поля за время установления в системе спинового равновесия. Последнее обстоятельство позволяет непосредственно наблюдать действие процессов спин-флипа.

В отсутствие неоднородного магнитного поля, как это следует из (5), (6), осциллирующая добавка к электрическому потенциалу имеет вид:

. (14)

Первое слагаемое в (12) - это производная от того потенциала, в котором является равновесной добавкой к плотности, последнее пропорционально электросопротивлению электронного газа, а второе слагаемое – это термоэлектрический эффект, связанный с создаваемой в условиях вынужденных колебаний неоднородной добавкой к электронной температуре:

, (15)

здесь учтена также передача тепла в гелий с частотой h. Сравнение (11)-(13) с (14) показывает, что при существенной неоднородности магнитного поля связанная с неоднородностью добавка к действительной части электросопротивления может преобладать при h >> c/L², а добавка к мнимой части при w >> nl_ee/L² становится того же порядка, что и определяемая первым слагаемым в (14). При wt_sf << 1 эти добавки, естественно, исчезают.

Дополнительная возможность экспериментального исследования процессов спин-флипа - наблюдение за увеличением температуры системы в ходе установления спинового равновесия после включения магнитного поля (известный магнетокалорический эффект). Из (6) видно, что каждый акт спин-флипа сопровождается выделением (поглощением) тепловой энергии - энергия взаимодействия с магнитным полем переходит в тепловую. (Это не связано с изменением энергии электрона при спин-флипе, при выводе (6) мы для простоты считали этот процесс упругим.) Таким образом, после включения магнитного поля за время происходит нагревание электронной системы, разница между конечной и начальной температурами, как следует из уравнений (1), (2), (6) при пренебрежении передачей тепла в гелий, определяется уравнением (при D<<T₀ ). Это изменение температуры со временем можно зафиксировать с помощью вынужденных колебаниях ЭПЖГ: два первых слагаемых в (14) пропорциональны температуре ЭПЖГ.

В заключение укажем, что система электронов на поверхности жидкого гелия проявляет в магнитном поле спин-электрические и спин-тепловые эффекты, позволяющие исследовать спиновые характеристики этой системы. В электронном кольце, помещенном в неоднородное магнитное поле, возникают спин-электрические колебания, а в неоднородное электрическое - термоэлектрические колебания. Неоднородное магнитное поле приводит к связанным со спином изменениям параметров вынужденных электронных колебаний, причем эти изменения «включаются» за время спин-флипа после приложения неоднородного поля. Действие процессов спин-флипа проявляется также в магнетокалорическом эффекте, за повышением температуры при протекании этих процессов можно наблюдать с помощью вынужденных колебаний электронной системы.

Мы весьма признательны за полезные обсуждения результатов работы Р.Н. Гуржи, А.Н. Калиненко, Ю.П. Монархе, А.В. Яновскому, а также сотрудникам отдела № 12 ФТИНТ, познакомивших нас с экспериментальной ситуацией в области.

Работа выполнена при поддержке проектов №1/08-H и №23/08-H
НАН Украины.

Литература:

1. R.N.Gurzhi, A.N.Kalinenko, A.I.Kopeliovich, P.V.Pyshkin, A.V.Yanovsky, Phys. Rev. B 73: 153204 (2006).

2. R.N. Gurzhi, A.N. Kalinenko, A.I. Kopeliovich, P.V. Pyshkin, A. V. Yanovsky, S. B. Rutkevich, A. N. Yashin, NPCS, vol.10,#3,2007, pp 238-246

3. I. Žutić, J. Fabian, and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 76, 323, 2004.

4. Р.Н. Гуржи. УФН 94(4), 689, 1968.

5. L.W. Molenkamp and M. J.M. de Jong, Phys. Rev. B 49, 5038

6. Yu.P.Monarkha and K. Kono, Two-Dimensional Coulomb Liquids and Solids,
Springer-Verlag, Berlin Heildelberg (2004).

7. V. A. Buntar, Yu. Z. Kovdrya, V. N. Grigor’ev, Yu. P. Monarkha, and S. S. Sokolov, J. Low Temp. Phys. 13, 451 (1987).

8. S. A. Lyon (cond-mat/0301581).

9. K. Flensberg, T. S. Jensen, and N. A. Mortensen, Phys. Rev. B 64, 245308, 2001.

Рисунок.

Подпись к рисунку:

Схема бесконтактного измерения электропроводности ЭПЖГ

Над поверхностью жидкого гелия с помощью прижимающего электрического поля, направленного перпендикулярно поверхности гелия, локализуются электроны, образующие проводящий двумерный слой (ЭПЖГ). Подача переменного напряжения на электроды, находящиеся над ЭПЖГ, приводит к возникновению тока в ЭПЖГ. В экспериментах измеряется емкость связанной с электродами цепи, которая непосредственно зависит от электропроводности ЭПЖГ.