 |
|
Давление при абсолютном покое
Рассмотрим случаи равновесия жидкости, находящейся в сосуде, в состоянии абсолютного покоя под действием сил тяжести и внешнего давления на свободной поверхности. В этом случае проекции единичной силы тяжести на координатные оси равны: 
.
После подстановки в уравнение (2.6) получаем
. (2.9)
После интегрирования имеем
. (2.10)
Постоянную интегрирования С находим из граничных условий
(рис. 2.2): при 
; 
. (2.11)
После совместного решения уравнений (2.6) и (2.7) получаем
.
или
(2.12)
Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики, позволяющие определять любое давление в точке.
2.1.3. Поверхность уровня при абсолютном покое
Дифференциальное уравнение поверхности уровня в этом случае имеет вид:
или 
(2.13)
интегрируя, находим
. (2.14)
Так как 
- произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей. Таким образом, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость, следовательно, и свободная поверхность будет горизонтальной плоскостью.
2.1.4.Анализ основного уравнения гидростатики
Как уже отмечалось, основное уравнение гидростатики служит для определения величины гидростатического давления в любой точке покоящейся жидкости
. (2.15)
Анализируя основное уравнение гидростатики можно сделать следующие выводы:
1. Гидростатическое давление есть сумма внешнего 
давления, действующего на свободной поверхности и весового 
давления, создаваемого весом столба жидкости высотой 
;
2. Внешнее давление не зависит от координат рассматриваемых точек, то есть оно передается во все точки покоящейся жидкости без изменения, поэтому жидкость используется как среда для передачи давления. На этом свойстве жидкости основано действие гидравлических машин (гидропрессы, силовые цилиндры, гидродомкраты);
3. Весовое давление 
является функцией координат точки. С увеличением заглубления точки под свободную поверхность, давление возрастает;
- Внешнее давление может быть больше атмосферного, меньше атмосферного и равно атмосферному. Если численное значение определено с учетом атмосферного, то давление
по формуле (2.15) будет абсолютным; если определено без учета атмосферного, то
будет избыточным.
2.1.5. Пьезометрическая и вакуумметрическая высоты
Рис 2.3. Условие равновесия для открытого сосуда
Рассмотрим условия равновесия для открытого сосуда, заполненного жидкостью, к которому в точке А присоединена открытая сверху трубка (рис. 2.3). Под действием весового или избыточного давления 
, жидкость поднимается в трубке на высоту 
. Указанная трубка называется пьезометром, а высота – пьезометрической высотой.
Представим основное уравнение гидростатики относительно плоскости, проходящей через точку А. Давление в точке А со стороны сосуда определяется как:
(2.16)
со стороны пьезометра:
(2.17)
тогда:
(2.18)
или
(2.19)
то есть пьезометрическая высота показывает величину избыточного давления в точке, где присоединен пьезометр в линейных единицах размерности.
Рис 2.4. Условие равновесия для закрытого сосуда
Рассмотрим условия равновесия теперь для закрытого сосуда, где давление на свободной поверхности p0 больше атмосферного давления pатм (рис. 2.4).
Под действием давления p0 большего pатм и весового давления 
жидкость поднимается в пьезометре на высоту большую, чем в случае открытого сосуда.
Давление в точке А со стороны сосуда:
(2.20)
со стороны открытого пьезометра:
(2.21)
тогда:
(2.22)
из этого равенства получаем выражение для :
. (2.23)
Анализируя полученное выражение, устанавливаем, что и в этом случае пьезометрическая высота соответствует величине избыточного давления в точке присоединения пьезометра. В данном случае избыточное давление состоит из двух слагаемых: внешнего избыточного давления на свободной поверхности 
и весового давления
(2.24)
Избыточное давление может быть и отрицательной величиной, называемой вакуумом. Так, во всасывающих патрубках центробежных насосов, в потоке жидкости при истечении из цилиндрических насадков, в вакуум – котлах в жидкости образуются области с давлением ниже атмосферного, т.е. области вакуума.
В этом случае:
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Рис.2.5. Ваккумметрическая высота
Вакуум – это недостаток давления до атмосферного.
Пусть в резервуаре 1 (рис. 2.5) абсолютное давление меньше атмосферного (например, откачана часть воздуха при помощи вакуум-насоса). В резервуаре 2 находится жидкость, и резервуары соединены изогнутой трубкой 3. На поверхности жидкости в резервуаре 2 действует атмосферное давление.
Так как в резервуаре 1 давление меньше атмосферного то жидкость поднимается в трубке 3 на какую-то высоту, которая называется вакуумметрической высотой и обозначается 
.Величина может быть определена из условия равновесия:
(2.28)
(2.29)
Максимальное значение вакуумметрического давления составляет 98,1кПа или 10 м.в.ст., но практически давление в жидкости не может быть меньше давления паров насыщения и равно 7–8 м.в.ст.
2.1.6. Условия равновесия жидкости в сообщающихся сосудах
Рассмотрим два сообщающихся сосуда, наполненных различными, не смачивающимися между собой жидкостями (рис. 2.6).
Сосуды закрыты, давления 
и 
– на поверхности жидкостей в сосудах I и II различны. Линия О-О – линия раздела разнородных жидкостей. Горизонтальная плоскость, проходящая через линию О-О, является плоскостью равного давления. Определим величину гидростатического давления в точках 
и 
, лежащих на плоскости равного давления. Согласно основному уравнению гидростатики:
(2.30)
(2.31)
где 
и 
– возвышение поверхности жидкостей в сосудах I и II над плоскостью О-О; 
и 
– плотности жидкостей.
Очевидно, что:
(2.32)
(2.33)
Зависимость (2.33) характеризует условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах. Она позволяет решать частные задачи.
Случай I. В сосудах налита одинаковая жидкость, но давления 
и 
различны.
тогда при условии, что 
получим:
(2.34)
Случай II. Жидкость одинакова, т.е. 
и 
. Тогда:
(2.35)
жидкость в сосудах будет на одном уровне.
Случай III. Жидкость одинакова 
, но один сосуд открыт 
, а другой закрыт 
.Тогда:
(2.36)
(2.37)
так как , значит
(2.38)
(2.39)
Выражение 
есть пьезометрическая высота для точек, лежащих на поверхности жидкости в закрытом сосуде.
Случай IV. Жидкости разнородные, несмешивающиеся, а 
Тогда:
(2.40)
или
(2.41)
Рассмотрим закрытый сосуд с жидкостью, к которому в точках А и В на произвольной глубине 
присоединены пьезометры I и II (рис. 2.7).
Давление на свободной поверхности в сосуде 
больше атмосферного 
. Трубка I сверху открыта и давление на свободной поверхности в ней равно атмосферному 
. Трубка II сверху запаяна, из нее удален воздух, т.е. давление в ней равно нулю 
.
Для определения вертикальных координат точек А и В проведем на произвольной высоте горизонтальную плоскость 0-0. Эта плоскость называется плоскостью сравнения. Вертикальное расстояние от плоскости сравнения до рассматриваемой точки называется геометрической высотой точки по отношению к плоскости сравнения и обозначается буквой 
. За плоскость сравнения может быть принят уровень земли, пола.
Так как давление в сосуде на свободной поверхности жидкости больше атмосферного, то в пьезометрических трубках I и II жидкость поднимется на большую высоту, чем уровень жидкости в сосуде. Обозначим высоту поднятия жидкости в открытом пьезометре через
– пьезометрическая высота, а высоту поднятия жидкости в закрытом пьезометре через 
– приведенная высота.
Пьезометрическая высота 
– мера манометрического давления в точке А. Приведенная высота 
– мера абсолютного давления в точке В. Разность высот 
, равна высоте столба жидкости, соответствующей атмосферному давлению т.е. 10 м.в.ст.
Сумма геометрической высоты и пьезометрической 
для любой точки жидкости будет величиной постоянной и называется пьезометрическим напором:
. (2.42)
Но
. (2.43)
Подставив это выражение в формулу (2.42) получим
(2..44)
или
(2.45)
это сумма приведенной высоты и геометрической высоты положения, называемая гидростатическим напором 
.
Тогда:
(2.46)
В уравнении (2.46) 
для любой точки жидкости, а 
не зависит от положения точки.
Значит:
(2.47)
Поэтому, сколько бы мы пьезометров не подключили, во всех пьезометрах жидкость установится на одном уровне: плоскость, соответствующая уровню П–П, называется пьезометрической плоскостью, а уровню Н–Н – напорной плоскостью.
Пьезометрический напор является мерой удельной потенциальной энергии жидкости. Предположим, что вес частицы жидкости в точке А. равен 
(рис. 2.7). По отношении к плоскости сравнения О – О запас потенциальной энергии положения равен 
, где -.высота от плоскости О – О до точки А. Под действием избыточного гидростатического давления 
частица, находящаяся на глубине , может подняться на высоту ,то есть она обладает потенциальной энергией давления равной 
. Полная потенциальная энергия частицы жидкости весом равна 
.Удельная потенциальная энергия, т.е. энергия приходящаяся на единицу веса частицы будет соответственно равна:
(2.48)
Аналогично, гидростатический напор 
является также мерой удельной потенциальной энергии жидкости, но большей по сравнению 
на величину удельной потенциальной энергии атмосферного давления.
(2.49)