Здавалка
Главная | Обратная связь

Криві другого порядку

Конічні перерізи

Полярні координати

Конічні перерізи

Криві другого порядку

Полярні координати

Положення довільної точки на площині можна визначити за допомогою полярної системи координат. Візьмемо на площині деяку фіксовану точку , яка називається полюсом.

З точки О проведемо промінь х, який називається полярною віссю. Кожній точці на площині можна поставити у відповідність два числа: r – відстань від точки до полюса О і – кут між полярною віссю х і вектором ОМ (рис.1).

Рис. 1

Числа r і називаються полярними координатами точки М. При цьому , а кут достатньо брати у проміжку .

Означення. Рівняння називається рівнянням кривих в полярних координатах, якщо полярні координати точок, які лежать на кривій, і тільки вони задовольняють це рівняння.

Розглянемо на площині прямокутну систему координат ху з початком у полюсі О (рис. 2).

Рис. 2

Між декартовими координатами точки М і полярними її координатами існують такі співвідношення:

, . (1)

На підставі цих залежностей можна скласти рівняння кривої в полярних координатах, якщо відомо рівняння в декартових координатах, і навпаки.

Конічні перерізи

Означення. Конічним перерізом називається крива, по якій круговий конус перетинається довільною площиною, що не проходить через його вершину (рис. 3).

Рис. 3

Коли зазначена площина перетинає всі твірні конуса, у перерізі утворюється крива , яка називається еліпсом.

Крива , яка утворюється в тому разі, коли площина перерізу паралельна єдиній твірній конуса, називається параболою.

Якщо площина перерізу паралельна двом твірним конуса, відповідна крива називається гіперболою. При цьому площина перетинає обидві порожнини конуса, тому гіпербола розпадається на дві вітки.

Усі канонічні перерізи мають спільні властивості, які полягають ось в чому.

Означення. Кожний конічний переріз, крім кола, являє собою геометричне місце точок площини, відношення відстаней яких від деякої фіксованої точки , що називається фокусом, і деякої прямої, що називається директрисою, є величина стала. Це так званий ексцентриситет. Позначають його .

При канонічний переріз є еліпсом, при – параболою, а при – гіперболою.

Складемо рівняння конічного перерізу в полярних координатах, беручи за фокус полюс. Полярну вісь проведемо перпендикулярно до директриси (рис. 4)

Рис. 4

Відстань від фокуса до директриси позначимо . Відстань до директриси дорівнює або залежно від того, праворуч чи ліворуч від директриси міститься точка. Тепер записуємо рівняння конічного перерізу

,

або

. (2)

Звідси маємо: .

Для еліпса і параболи у формулі (2) береться знак «+», для гіперболи – обидва знаки. На рис. 5 зображемо конічний переріз при різних значенняс.

Рис. 5

Запишемо рівняння конічних перерізів у декартових координатах. Згідно з (2) маємо: .

Узявши до уваги (1), дістанемо:

або

. (3)

Спростимо запис рівняння при різних записах .

1. При : .

Позначивши , перейдемо до канонічного рівняння параболи

. (4)

2. При виділимо в рівнянні (3) повний квадрат. Тоді дістанемо рівняння

.

Узявши нові координати , дістанемо рівняння , або .

Для скороченого запису застосуємо позначення:

(5)

Остаточно маємо канонічне рівняння еліпса

. (6)

При утворюється канонічне рівняння гіперболи:

. (7)

Парабола

Означення:Канонічним рівнянням параболи називається рівняння виду

. (8)

Ця крива симетрично відносно осі х, оскільки заміна у на –у в її рівнянні не змінює його. Точка О перетину осі симетрії з параболою називається вершиною параболи (рис. 6)

Рис. 6

Ексцентриситет параболи дорівнює одиниці, а тому . Важливою є так звана оптична властивість параболи, яка полягає в тому, що всі промені, паралельні осі , після відбиття параболи потрапляють у її фокус (рис. 7)

Рис. 7

Візьмемо довільну точку на параболі і проведемо дотичну в точці М. Кутовий коефіцієнт дотичної визначається так:

.

Доведемо, що кут падіння променя на дотичну дорівнює куту його відбиття . Достатньо довести, що , тобто , або .

Згідно з рис. 7 маємо:

.

.

Це й доводить оптичну властивість параболи.

Еліпс

Означення. Канонічним рівняння еліпса називається рівняння

. (9)

Осі координат є осями симетрії еліпса, оскільки рівняння (9) не змінюється в результаті заміни х на –х або у на –у. Початок координат є центром симетрії еліпса. Точки перетину еліпса його осями симетрії називаються вершинами еліпса (рис. 8)

Рис. 8

1. Увесь еліпс міститься всередині прямокутника .

2. Форму еліпса можна чітко уявити, довівши, що еліпс утворюється з кола, стискуванням вздовж однієї з його осей.

Діаметр еліпса , , називається спряженим до діаметра . Він поділяє попалам усі хорди еліпса, що подаються рівнянням .

Візьмемо на еліпсі довільну точку і проведемо в цій точці дотичну до еліпса. Діаметр, що виходить з точки дотику, має кутовий коефіцієнт . Тому кутовий коефіцієнт подається згідно з формули :

.

Рівняння дотичної набирає вигляду

,

або

, .

Остаточно знаходимо рівняння дотичної до еліпса:

(10)

Коли відомі та , можемо знайти ексцентриситет еліпса. Введемо параметр за формулою

. (11)

З рівняння (11) при знаходимо значення с:

.

Отже,

. (12)

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Прямі, задані рівняннями , , є директрисами еліпса (рис. 9)

Рис. 9

Гіпербола

Означення. Канонічним рівнянням гіперболи називаються рівняння

(13)

Ця крива розміщена симетрично відносно осей х та у. Початок координат є центром симетрії гіперболи. Зрівняння випливає, що .

Область в якій розміщені вітки гіперболи, обмежені прямими

, (14)

які називаються асимптотами гіперболи (рис. 10).

Рис. 10

Означення. Пряма, що проходить через центр симетрії гіперболи, називається її діаметром. Центри всіх хорд гіперболи, що мають рівняння , лежать на діаметрі гіперболи, який подається рівнянням , .

Діаметри гіперболи

(15)

Називають спряженими. Хорди гіперболи, паралельні одному й тому самому діаметру, поділяються спряженим діаметром попалам. Якщо дотична до гіперболи паралельна деякому діаметру, то спряжений діаметр проходить через деяку точку дотику.

Рівняння дотичної до гіперболи в точці подається у вигляді

(16)

Ексцентриситет гіперболи:

. (17)

Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Криві другого порядку

Означення. Криві другого порядку називається геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння

(18)

де хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля. Розглянемо квадратичну формулу , а далі знайдемо власні числа матриці з рівняння

. (19)

Позначимо корені рівняння (19) і ортогональної заміною змінних

,

де вектори – власні вектори матриці А, перетворимо рівняння (1) до такого вигляду:

. (20)

Нехай , тоді, виділяючи повний квадрат і переміщуючи початок координат, дістанемо рівняння кривої

(21)

1. , то .

Припустимо, що . При маємо еліпс, при – точку, а при – порожню множину.





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.