 |
|
Моменти інерції деяких найпростіших перетинів
1. Півколо (рис.9).
Рис.9. Перетин у формі півкола
Головними центральними осями є вісь симетрії у і перпендикулярна їй центральна вісь х. Зовсім очевидно, що момент інерції півкола вдвічі менше, ніж момент інерції кола щодо тої ж осі:
| () |
Таке ж значення має момент інерції щодо осі 
:
|
Скориставшись (2.8) і знайденим у прикладі 6.1 значенням ординати центра ваги півкола, одержимо
| (14) |
Якщо початок головних осей збігається з центром ваги перерізу, то осі мають назву головних центральних. У випадку наявності у фігури осей симетрією головні центральні осі збігаються з ними.
Визначимо моменти інерції круглого перерізу (рисунок 9')
;
. (15)
У нашому випадку
. (15')
2. Прямокутник (рис. 10,а).
| 
|
| а | б |
Рис.10. Прямокутний перетин
Визначимо спочатку момент інерції щодо осі, що збігає з основою.
По визначенню
|
Розіб'ємо перетин на елементарні прямокутники (смужки) шириною 
й товщиною (висотою) 
, тоді 
Підставляючи значення 
у вираження для 
й інтегруючи, одержуємо
| (16) |
Головний центральний момент інерції знайдемо по формулі (8):
|
звідки
|
У цьому випадку відстань між осями 
й 
тоді
| (17) |
Аналогічно, момент інерції щодо осі у
| (18) |
Для квадрата зі стороною 
на підставі (17)
| (19) |
3. Трикутник (рис.10,б).
Обчислимо спочатку момент інерції щодо осі, що збігає з основою. Розбиваючи перетин на елементарні смужки, як показано на рис.10,б, знаходимо
|
Із подібності трикутників 
і 
одержимо
|
тоді
| (20) |
Підставляючи в (2.8) значення
 ,
|
знаходимо момент інерції щодо центральної осі 
:
| (21) |
Для довільного трикутника вісь не є головною; якщо ж трикутник рівнобедрений, то осі й 
головні, тому що вісь є віссю симетрії.
Поняття про радіус і еліпс інерції
Момент інерції фігури щодо якої-небудь осі можна представити у вигляді добутку площі фігури на квадрат величини, яку називають радіусом інерції
| (22) |
де 
— радіус інерції щодо осі 
.
З (22) треба, що
| (23) |
Аналогічно радіус інерції площі перетину щодо осі у
| (24) |
Головним центральним осям інерції 
відповідають головні радіуси інерції
| (25) |
Побудуємо на головних центральних осях інерції фігури еліпс із півосями, рівними головним радіусам інерції, причому уздовж осі 
відкладаємо відрізки 
, а уздовж осі 
— відрізки 
(рис.2.15).
Рис.11. Еліпс інерції
Такий еліпс, що називають еліпсом інерції, має наступну властивість. Радіус інерції щодо будь-якої центральної осі визначається як перпендикуляр 
проведений із центра еліпса на дотичну, паралельну даної осі. Для одержання ж точки торкання досить провести паралельно даної осі будь-яку хорду. Крапка перетинання еліпса із прямої, що з'єднує центр О и середину хорди, і є крапка торкання. Вимірявши потім відрізок 
,знаходимо момент інерції
|
Запитання для самоконтролю
1. Перелічити та дати визначення основних геометричних характеристик поперечних перерізів бруса.
2. Як найбільш раціонально визначити координати центра ваги складної плоскої фігури?
3. Як визначаються моменти інерції трикутника, прямокутника, круга?
4. Як змінюються моменти інерції в разі паралельного перенесення осей?
5. Осьові моменти інерції двох кругів відносяться як 16:1. Як відносяться їх площі?
6. Що розуміють під головними осями інерції?
Заняття № 46
Тема: Геометричні характеристики плоских перерізів.
План
1. Визначення головних центральних моментів інерції складних перерізів.
Студент повинен знати: визначення статичного, полярного, осьового моменту інерції поперечних перерізів, визначення осьових моментів інерції поперечних перерізів відносно параленьних осей, визначення головних центральних осей.
Студент повинен вміти:визначати статичний, полярний, осьовий моменти інерції поперечних перерізів складної форми.
ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА