 |
|
Диференційне рівняння зігнутої осі балки
Викривлену вісь балки називають зігнутою віссю або пружною лінією.
Переміщення центра ваги перерізу в напрямі, перпендикулярному до недеформованої осі балки, називаються прогином балки в даному перерізі 
. 
, коли прогин вверх. Найбільший прогин балки називається стрілою прогину – 
.
Довжина балки лишаться незмінною. Кут, на який повертається переріз відносно свого початкового положення, називається кутом повороту перерізу. 
, коли поворот перерізу проти годинникової стрілки.
; 
.
Для визначення прогину в довільному перерізі потрібно мати рівняння пружної лінії:
.
Оскільки поперечні сили мало впливають на кривизну балки, то для поперечного згину ми можемо використати закон Гука, одержаного для чистого згину.
. (17)
З курсу вищої математики відоме рівняння кривизни плоскої кривої:
. (18)
|
Оскільки за прийнятих правил знаків праві частини рівнянь (17) і (18) мають однаковий знак, то залишаючи в (18) знак плюс і прирівнюючи праві частини, одержимо точне рівняння пружної лінії балки
(19)
Рівняння (19) для малих деформацій балки можна спростити, оскільки кути 
дуже малі. 
. Таким чином, можна прийняти, що 
. В результаті рівняння (19) матиме вигляд:
(20)
Це рівняння називається основним диференційним рівняння пружної лінії балки. Інтегруючи рівняння, одержимо вирази для кута повороту перерізу і прогину:
(21)
Сталі 
і 
визначаються з умов закріплення балки
Приклад
| Визначити 
|
При   .
 ;  ;
При  .
 ;
|  .
 ;
 .
В т. А 
 .
|
Метод безпосереднього інтегрування достатньо раціональний, оскільки у багатьох випадках достатньо і треба визначити тільки максимальний прогин та кут повороту, щоб порівняти з допустимими (умова жорсткості).
Контрольні питання:
1. Які існують раціональні форми перерізу при згині?
2. В чому суть безпосереднього інтегрування диференційного рівняння зігнутої вісі балки?
Лекція 8
Стійкість стиснутих стержнів