Главная | Обратная связь

Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги

Рівновага твердого тіла буває стійкою, нестійкою і байдужою. Пружна рівновага деформованого тіла є стійкою, коли після довільно малого відхилення від стану рівноваги тіло намагається повернутися у початковий стан. Пружна рівновага є нестійкою, коли тіло продовжує деформуватися у напрямку наданого йому відхилення.

Між стійким і нестійким станом рівноваги існує перехідний, так званий критичний стан, у якому тіло може зберігати і початкову форму рівноваги і відхилятися від неї. Йому відповідає значення сили Ркр.

При – стійка прямолінійна форма тіла. Стержень, відхилений від вертикального положення силою , повертається до нього, якщо силу усунути.

При – байдужий стан. Стержень, виведений із прямолінійної форми, може повернутися до неї, але може також залишитися злегка зігнутим, коли сила перестане діяти.

При – прямолінійна форма рівноваги не зберігається, стержень набуває нової криволінійної форми рівноваги або руйнується.

Найменша стискувальна сила, при якій прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою, називається критичною.

При напруження в стержні менші границі текучості і тим більше границі міцності, але досягання рівносильне руйнуванню конструкції, яке відбувається раптово без попередніх ознак і тому є небезпечним, оскільки немає можливостей прийняти запобіжні заходи.

Згин стержня, що відбувається після втрати стійкості його прямолінійної форми під дією осьових стискувальних сил, називається поздовжнім згином.

2. Формула Ейлера для визначення Р_крстиснутого стержня

Нехай під дією сили стержень зігнувся, причому відхилення від прямолінійної форми малі. Запишемо диференціальне рівняння пружної лінії стержня

(1)

де – найменший момент інерції поперечного перерізу стержня; Згинальний момент . Отже рівняння (1) в даному випадку можна записати так:

Позначимо . (2)

Одержимо . (3)

Загальний розв’язок рівняння (3)

. (4)

Сталі інтегрування А і В вибираються так, щоб виконувались наступні очевидні граничні умови (умови закріплення стержня):

: ; (а)

: . (б)

Підстановка функції (4) в умову (а) дає тотожність , а в умову (б) – рівняння , яке має два можливих розв’язки:

1) і 2) .

Але якщо і і , то вираз (4) обертається в тотожність. Тобто в будь-якому перерізі . Отже, , а . Звідси випливає рівність (п=0, 1, 2, ...) або , = 0, 1, 2, 3...

Враховуючи (2), маємо

. (5)

Але нас цікавить найменше значення критичної сили, яке можливе при = 1, отже:

. (6)