ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Функция распределения или плотность распределения полностью описывают случайную величину. Часто, однако, при решении практических задач нет необходимости в полном знании закона распределения, достаточно знать лишь некоторые его характерные черты. Для этого в теории вероятностей используются числовые характеристики случайной величины, выражающие различные свойства закона распределения. Основными числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическое ожиданиехарактеризует положение случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются все ее возможные значения. Математическое ожидание случайной величины X обозначают символами М(Х)или т. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений: Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется с помощью несобственного интеграла: Исходя из определений, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств математического ожидания: 1. (математическое ожидание неслучайной величины с равно самой неслучайной величине). 2. Если ³0, то ³0. 3. . 4. Если и независимы, то . Пример 3.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:
Решение. =0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3. Пример 3.4. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной плотностью распределения: . Решение. Дисперсия и среднее квадратическое отклонениеявляются характеристиками рассеивания случайной величины, они характеризуют разброс ее возможных значений относительно математического ожидания. Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой: (3.3) а для непрерывной – интегралом (3.4) Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания, совпадающей по размерности со случайной величиной, служит среднее квадратическое отклонение. Свойства дисперсии: 1) – постоянные. В частности, 2) 3) В частности, (3.5) Заметим, что вычисление дисперсии по формуле (3.5) часто оказывается более удобным, чем по формуле (3.3) или (3.4). Величина называется ковариацией случайных величин . Если , то величина называется коэффициентом корреляции случайных величин . Можно показать, что если , то величины линейно зависимы: где Отметим, что если независимы, то и Пример 3.5. Найти дисперсию случайной величины, заданной рядом распределения из примера 1. Решение. Чтобы вычислить дисперсию, необходимо знать математическое ожидание. Для данной случайной величины выше было найдено: m=1.3. Вычисляем дисперсию по формуле (3.5):
Пример 3.6. Случайная величина задана плотностью распределения Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Решение. Находим сначала математическое ожидание: (как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку). Теперь вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|