Здавалка
Главная | Обратная связь

ОЦЕНКА С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРВАЛОВ



Оценка параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров. Интервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки величина q* служит оценкой неизвестного параметра q. Оценка q* определяется тем точнее, чем меньше
|q - q*|, т. е. чем меньше d в неравенстве |q - q*|< d, d > 0.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки q* параметра q называется вероятность ¡, с которой оценивается неравенство |q - q*|< d.

Число a=1 - ¡ называется уровнем значимости, определяющим вероятность того, что оцениваемый параметр не попадет в доверительный интервал.

Обычно задается надежность ¡ и определяется d. Чаще всего вероятность ¡ задается значениями от 0.95 и выше. Неравенство |q - q*|< d можно записать в виде

- d < q - q* < d или q* - d < q < q* + d.

Доверительным интервалом называется интервал (q* - d, q* + d), который покрывает неизвестный параметр q с заданной надежностью.

Определение доверительного интервала для среднего значения нормально распределенной измеряемой случайной величины Х при известной дисперсии .

Нам уже известно, что . Можно показать [1-5], что (сумма нормально распределенных случайных величин сама является нормальной).

Зададим доверительную вероятность ¡ и найдем доверительный интервал ( - d, + d), который покрывал бы неизвестный параметр с заданной надежностью ¡.

Согласно формуле В (свойства нормального распределения, раздел 3)

. (4.1)

Таким образом, для отыскания величины доверительной границы случайного отклонения результатов наблюдений по доверительной вероятности ¡ имеем уравнение:

, где ,

где значение находим по таблице Лапласа (приложение 1), .

Пример 4.7. По результатам наблюдений была найдена оценка неизвестного математического ожидания m случайной величины если точечная оценка =10.2, а дисперсия оценки =4. Требуется оценить доверительныйинтервал для оценки математического ожидания по 36-ти наблюдениям с заданной надежностью ¡=0.99.

Решение. Из (4.1) следует, что . Отсюда получаем, что =2.58 и половина искомого интервала . Так как , то с вероятностью 0.99 доверительныйинтервал для оценки математического ожидания: .

Со случаем, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, можно ознакомится в [3, 4, 6].

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.