 |
|
Простір елементарних подій
Л Е К Ц І Я 1
Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей
Послідовність операцій, виконуваних з додержанням певного комплексу умов, називають експериментом (дослідом, спробою).
Наслідок будь-якого експерименту називають подією.
Класифікація подій. Події поділяються на вірогідні, неможливі та випадкові.
Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного комплексу умов, певна подія обов’язково настає, то вона називається вірогідною. Вірогідна подія позначається символом Ω(«омега»).
Прикладивірогідних подій:
1. У земних умовах вода, нагріта до температури 1000С, набуває стану кипіння.
2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.
Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом Ø(порожня множина).
Прикладинеможливих подій:
1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.
2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, котра полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться колосок пшениці, неможлива.
Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.
Випадкові події позначаються символами А, В, С, …або
А1, А2, А3, …, Аk; B1, B2, …, Bn.
Отже, випадкові події пов’язані експериментами, наслідки яких є неоднозначними.
Прикладивипадкових подій:
1. Монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета на рівну і тверду підлогу). Поява герба (або цифри) – подія випадкова.
2. Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин ячменю, то не можна передбачити наперед, скільки зернин проросте. Отже, подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є випадковою.
Прості та складені випадкові події.
Простір елементарних подій
Для математичного опису випадкових подій – наслідків експерименту – застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.
Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.
Елементарні події позначаються 
і в теорії ймовірностей не поділяються на простіші складові.
Приклад 1.Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього експерименту.
Розв’язання. Можливі такі елементарні випадкові події:
(монета випаде гербом);
(монета випаде цифрою).
Приклад 2.Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього експерименту.
Розв’язання. Триразове підкидання монети – це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть:
(тричі випаде герб);
(тричі випаде цифра);
(герб випадає двічі);
(герб випадає один раз).
Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.
Приклад 3.Задано дві множини цілих чисел 
, 
. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Визначити елементарні події цього експерименту – появу пари чисел.
Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються великими латинськими літерами A, B, C, D, ….
Приклад 4.Задано множину чисел 
. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події:
1) з’явилось число, кратне 2;
2) число, кратне 3;
3) число, кратне 5.
Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх відповідно 
Тоді
Елементарні випадкові події 
які належать відповідно складеним випадковим подіям 
тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту ( 
сприяють появі події 
- події 
- події 
).
Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина 
елементарних подій , кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: 
Множину називають простором елементарних подій.
Приклад 5.Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від 1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:
1) А – випаде число, кратне 2;
2) В – випаде число, кратне 3.
Розв’язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6. Отже, 
Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити, то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.
Коли кожній елементарній події не можна поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число, то простір елементарних подій називають неперервним.
У розглянутих прикладах простори елементарних подій були дискретними.
Приклади неперервних просторів елементарних подій:
1)розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготовляє робітник або верстат-автомат;
2)покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір.
Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини 