 |
|
Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин
Л Е К Ц І Я 4
Схема незалежних випробувань
Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p i q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p відбувається, а з імовірністю q – не відбувається, тобто p+q=1.
Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі – 2n елементарних подій.
Формула Бернуллі
Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія A з’явиться m раз, подається у вигляді
(1)
Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:
(2)
Оскільки
(3)
дістанемо
(4)
(5)
Приклад 1.Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.
Обчислити ймовірність того, що з п’яти електролампочок, увімкнутих у електромережу за схемою, наведеною на рис.1, не перегорять: 1)дві; 2) не більш як дві; 3) не менш як дві.
Рис.1
Розв’язання. За умовою задачі маємо: p=0,9; q=0,1; n=5; m=2. Згідно з (1), (4), (5) дістанемо:
1) 
2) 
3) 
Приклад 2.Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є величиною сталою і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину уваги робітника потребують:
1) три верстати; 2) від двох до п’яти верстатів; 3) принаймні один.
Розв’язання. За умовою задачі маємо: p=0,6; q=0,4; n=6; m=3; 
Згідно з (1), (2), (5), дістанемо:
1) 
2) 
3) 
Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин
Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю.
Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною, то таку множину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною.
Випадкові величини позначають X, Y, Z,…, а їх можливі значення – x, y, z,…
Для опису випадкової величини необхідно навести не лише множину можливих її значень, а й указати, з якими ймовірностями ця величина набуває того чи іншого можливого значення.
З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей.
Співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями, називають законом розподілу випадкової величини.
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна задати в табличній формі:
| X=xi | x1 | x2 | x3 | … | xk |
| P(X=xi)=pi | p1 | p2 | p3 | … | pk |
Оскільки випадкові події є між собою несумісними і утворюють повну групу, то необхідною є така умова:
(1)
Рівність (1) називають умовою нормування для дискретної випадкової величини Х. Наведену таблицю називають рядом розподілу.
Приклад 1.Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею
| X=xi | -4 | ||||
| P(X=xi)=pi | 0,1 | 0,1 | 0,5 | р4 | 0,2 |
Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х=х4=5.
Розв’язання. Згідно з умовою нормування (1) маємо:
Закон розподілу ймовірностей дає повну інформацію про випадкові величини. Проте на практиці немає потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають числовими характеристиками випадкових величин.
Математичним сподіваннямдискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх її можливих значень на відповідні ймовірності
. (2)