 |
|
Властивості функції розподілу ймовірностей
Л Е К Ц І Я 5
Неперервні випадкові величини та їх числові характеристики
Функцією розподілу ймовірностейназивається функція 
детермінованого (невипадкового) аргументу 
, яка чисельно дорівнює імовірності того, що в результаті випробування випадкова величина X набере значення, яке менше від x, тобто
(1)
Іноді функцію розподілу називають ще інтегральною.
Властивості функції розподілу ймовірностей
Властивість 1.Область визначення функції розподілу - 
а область значень – відрізок [0; 1].
Властивість 2. - неспадна функція, тобто для будь-якої пари чисел 
з нерівності 
випливає нерівність 
Наслідок 1.Імовірність того, що випадкова величина при випробуванні набере можливого значення з проміжку [a, b), дорівнює приросту функції розподілу на цьому проміжку:
(2)
Наслідок 2.Імовірність того, що неперервна випадкова величина X набере при випробуванні одне конкретне можливе значення, дорівнює нулю.
Властивість 3.Якщо всі можливі значення випадкової величини належать проміжку [a, b], то 
для всіх 
і 
для всіх 
Наслідок.Якщо можливими значеннями неперервної випадкової величини є всі дійсні числа, тоді мають місце такі граничні співвідношення
Задача.Дискретнавипадкова величина X задана законом розподілу
| X | ||||
| P | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
Знайти функцію розподілу й побудувати її графік.
Розв’язання. Якщо 
то відповідно до властивості 3 
Нехай 
Тоді випадкова подія 
оскільки 1 – єдине можливе значення, яке менше від x. А тому, згідно із (1), для (1; 3] 
Якщо 
тоді подія (X<x) відбувається тоді й тільки тоді, коли або X=1, або X=3, тобто має місце така рівність: 
де доданки справа – несумісні випадкові події. Використання теореми додавання імовірностей і означення (1) дозволяє знайти на цьому проміжку:
Якщо 
то за аналогією із попереднім проміжком
Нарешті, якщо x>8, то подія (X<x) – достовірна, і . Отже, функція розподілу має такий вигляд:
а її графік буде таким:
F(x)
1
0,8
0,6
0,2
x
1 3 6 8
Стрілками відмічені правосторонні розриви.
Функція розподілу може описувати як дискретні випадкові величини, так і неперервні. Проте такий спосіб задання неперервної випадкової величини не єдиний: її можна описати також іншою функцією, яку називають густиною (щільністю ) розподілу або густиною імовірності, а іноді – диференціальною функцією.
Густиною розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X називається функція 
яка дорівнює першій похідній від функції розподілу
(3)