Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості

Л Е К Ц І Я 6

Багатовимірні випадкові величини

На одному і тому самому просторі елементарних подій можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Так структура витрат випадково взятої окремої сім’ї на їжу, одяг, взуття, транспорт, задоволення духовних потреб є випадковими величинами, визначеними на одному й тому самому просторі елементарних подій.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні означення, які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

Означення.Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X₁, X₂, …, X_n) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

Система двох дискретних випадкових величин (X, Y) та їх числові характеристики

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень та відповідних їм ймовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X=x_j Y=y_i	x₁	x₂	x₃	…	x_m	p_yi
y₁	p₂₁	p₁₂	p₁₃	…	p_1m	p_y1
y₂	p₁₁	p₂₂	p₂₃	…	p_2m	p_y2
y₃	p₃₁	p₃₂	p₃₃	…	p_3m	p_y3
…	…	…	…	…	…	…
y_k	p_k1	p_k2	p_k3	…	p_km	p_ym
p_xj	p_x1	p_x2	p_x3	…	p_xm

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

Основні числові характеристики для випадкових величин X, Y, що утворюють систему (X,Y)

Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

У разі зв’язок між величинами X та Y, що належать системі (X, Y), відсутній. Коли , то між відповідними X та Y кореляційний зв’язок існує.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

Отже, якщо випадкові величини X та Y є незалежними, то і Рівність нулеві є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині кола радіусом R із центром у початку координат.

Дві випадкові величини X та Y називають некорельованими, якщо , і корельованими, якщо

Отже, якщо X та Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.

Приклад.Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X, Y):

X=x_j Y=y_i 5,2 10,2 15,2 p_yi

2,4 0,1а 2а 0,9а

4,4 2а 0,2а 1,8а

6,4 1,9а 0,8а 0,3а

p_xj

Знайти а. Обчислити

Розв’язання.

Скориставшись умовою нормування, дістанемо: