Здавалка
Главная | Обратная связь

Нерівність Чебишова

Л Е К Ц І Я 8

Граничні теореми теорії ймовірностей

Закон великих чисел

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P(A); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю.

Закон великих чисел об’єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових, сталих величин.

Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова

Якщо випадкова величина X має обмежені M(X); D(X), то ймовірність відхилення цієї величини від свого математичного сподівання, взятого за абсолютною величиною не перевищуватиме величини:

Це можна записати так:

.

Приклад 1.Випадкова величина Xмає закон розподілу N(-2; 4). Скориставшись нерівністю Чебишева, оцінити ймовірність якщо

Розв’язання. Оскільки , , , то згідно з нерівністю Чебишова маємо:

 

Приклад 2.Імовірність появи випадкової події в кожному із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події якщо

Розв’язання. За умовою задачі маємо:

 

Теорема Чебишова

Нехай задано n незалежних випадкових величин X1, X2, …, Xn, які мають обмежені M(Xi) (i=1, …, n) і дисперсії яких D(Xi) не перевищують деякої сталої C (C>0) тобто D(Xi) ≤ C. Тоді для будь-якого малого додатного числа імовірність відхилення середнього арифметичного цих величин

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

взятого за абсолютним значенням на величину , прямуватиме до одиниці зі збільшенням числа n:

або

Приклад 3.Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною величиною, не перевищить 0,4.

Розв’язання. Використовуючи нерівність Чебишова для теореми Чебишова, одержимо:

 

Приклад 4.У наслідок медичного огляду 900 допризовників було виявлено, що середня маса кожного з них на 1,2 кг більша від середньої маси попереднього призову. Чи можна це констатувати як випадковість, якщо середнє відхилення маси допризовника дорівнює 8 кг?

Розв’язання.

Оскільки ця ймовірність дуже мала, відхилення маси можна вважати невипадковим.

 

Теорема Бернуллі

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює p, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n → ∞ імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності p, взятої за абсолютною величиною на прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

(1)

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

(2)

 

Приклад 5.Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.

 

Розв’язання. За умовою задачі p=0,95; q=0,05; n=400. На підставі (2) дістаємо:

 

Приклад 6.Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності p=0,85, взяте за абсолютною величиною, на була б не меншою за 0,99.

 

Розв’язання. Із умови задачі маємо p=0,85; q=0,15;





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.