Главная | Обратная связь

Предмет математичної статистики

Л Е К Ц І Я 9

Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування

Предмет математичної статистики

При бажанні керувати масовими процесами чи впливати на їх перебіг, безумовно, необхідно знати закони, яким вони підкоряються. Причому важливими є й ті закони (фізичні, біологічні і т.д.), за якими діє кожний з учасників масових процесів, і закони, притаманні лише великій сукупності об'єктів. Встановленню останніх сприяє математична статистика.

Математична статистика - наука, що займається збором, групуванням та аналізом експериментальних даних з метою вивчення закономірностей випадкових явищ. Основна її задача полягає в тому, щоб на основі даних, отриманих при вивченні певної підмножини, зробити висновки про властивості всієї множини однорідних об'єктів.

 

Розглянемо більш ґрунтовно, що мається на увазі.

Чому не дослідити всю сукупність? Адже тоді можна було б стверджувати, що інформація з приводу кількісної чи якісної ознаки, відносно якої проводиться дослідження, найбільш повна. Основні причини, через які суцільне дослідження проводять рідко, такі: по-перше, сукупність може складатися з дуже великої кількості елементів, по-друге, перевірка елемента може приводити до його знищення (уявіть перевірку якості патронів для стрільби або сірників), по-третє, перевірка всіх елементів може вимагати великих матеріальних чи фінансових затрат.

Вказані та інші причини змушують обмежувати множину досліджуваних елементів, а це ставить перед математичною статистикою ряд супутніх задач - вказати способи збору і первинної обробки (групування) інформації, а також розробка методів та способів збору та аналізу, що залежать від мети дослідження.

 

 

В математичній статистиці прийнято ряд понять, які необхідно засвоїти.

Генеральною сукупністюназивають всю сукупність елементів (об'єктів), які досліджуються.

Вибірковою сукупністю,або вибіркою,називають сукупність випадково вибраних із генеральної сукупності елементів (об'єктів) для дослідження її якісної чи кількісної ознаки.

Об'єм сукупності- це кількість елементів (об'єктів) даної сукупності.

 

В залежності від об'єму генеральної сукупності застосовують повторну і безповторну вибірки. Різниця в тому, що у випадку повторної вибірки кожний відібраний об'єкт після дослідження повертається в генеральну сукупність і має всі шанси потрапити до вибірки знову. Така вибірка застосовується в тих випадках, коли генеральна сукупність має невеликий об'єм. Здебільшого використовують безповторну вибірку, при якій після дослідження відібраний об'єкт не повертається до генеральної сукупності.

Основна вимога, що висувається до вибірки - вона повинна бути репрезентативною(від лат. reprеsentatio - наочне зображення) - представницькою, тобто правильно відображати ті властивості генеральної сукупності, що вивчаються.

Вміння забезпечити репрезентативність вибірки – це одночасно і наука, і мистецтво. Опанувати їх досить складно, а отже, ті, хто береться це зробити, особливо у таких складних випадках, як соціологічні опитування, а ще й напередодні виборів, повинні з великою відповідальністю ставитися до одержаних результатів і до їх оприлюднення. Вибірка може бути нерепрезентабельною або з причини низького професіоналізму тих, хто займався дослідженням, або внаслідок злого умислу. Проблема полягає в тому, що психіка людини, сприйняття людиною дійсності та її реакція на те, що відбувається, - дуже складний механізм, на який впливає дуже багато факторів, у тому числі й сфальсифіковані рейтинги, що часто носять характер реклами на замовлення.

Розглянемо деякі зі способів відбору, застосування яких дозволяє сподіватися на репрезентативний результат.

1. Простий випадковий відбір- з усієї генеральної сукупності, без розбиття її на частини, навмання відбирається наперед визначена кількість об'єктів для дослідження. Простий відбір може бути як повторним, так і безповторним.

 

2. Механічний відбір.При цьому способі відбору усю генеральну сукупність спочатку ділять на частини, кількість яких збігається з об'ємом майбутньої вибірки. З кожної частини відбирають по одному об'єкту. На практиці це здійснюється відбиранням кожного десятого чи кожного двадцятого елемента. Однак слід зауважити, що цикл такого відбору може збігтися з якимось виробничим циклом, а це приведе до спотворення правдивої інформації про генеральну сукупність.

 

3. Типовий відбір- це відбір, при якому об'єкти для дослідження
відбираються з генеральної сукупності, розбитої на різні типові
частини, причому кількості відібраних об'єктів з кожної частини
повинні бути пропорційні об'ємам цих частин. Використовується, якщо
досліджувана ознака зазнає значних відмінностей у різних типових
частинах. Наприклад, деталі виготовляються на однакових верстатах
групою токарів, серед яких, крім досвідчених спеціалістів високого
класу, є кілька учнів. При дослідженні генеральної сукупності на
предмет якості деталей (всіх виготовлених деталей) її варто розбити
на дві типових частини: деталі виготовлені професіоналами та учнями
і відібрати у вибірку кількості, пропорційні об'ємам цих частин.

 

4. Серійний –спосіб відбору, при якому об’єкти для дослідження відбираються цілими серіями, що піддаються суцільному дослідженню. Застосовується, якщо досліджувана ознака не сильно відрізняється в різних серіях.

Перед початком дослідження довільної генеральної сукупності на певну кількісну чи якісну ознаку здебільшого немає інформації про те, якому закону розподілу ця ознака підкоряється. Причому мова йде не лише про числові характеристики випадкової величини, а й (навіть більшою мірою) про вигляд функції розподілу (рівномірний, нормальний, показниковий чи якийсь інший). З цією метою над системою й проводяться вимірювання значень певної випадкової величини, яка кількісно чи якісно описує ту ознаку, на предмет якої проводиться дослідження.

 

Результати певної кількості експериментів (вибірки) групуються певним чином, опрацьовуються і на основі отриманих результатів будуються емпіричні (статистичні) графіки - інтегральна функція розподілу, полігон чи гістограма частот.

За результатами опрацьованих статистичних даних підбирається апроксимуюча функція, що претендує на роль теоретичної функції розподілу, яка описує досліджувану ознаку генеральної сукупності. Іншими словами, висувається гіпотеза, що функція певного вигляду (в залежності від складності емпіричних графіків, можливо, з невизначеними параметрами) є теоретичною інтегральною функцією розподілу чи функцією розподілу густини ймовірностей досліджуваної ознаки генеральної сукупності.

Оскільки кожний результат вимірювання є випадковою величиною, а кількість результатів скінченна, то між емпіричними функціями та їх апроксимаціями (в нашому випадку теоретичними функціями розподілу, що висунуті в якості гіпотези) існують певні розбіжності, тому закономірне питання: ці розбіжності - результат випадковостей, чи неправильно висунутої гіпотези? Тому наступним етапом статистичних досліджень є підтвердження або спростування висунутої гіпотези.

З ряду причин, переважно через недостатність статистичного матеріалу або тому, що тип функції розподілу відомий з інших джерел, питання про визначення функції розподілу навіть не висувається. В таких випадках ставиться задача з визначення оціночних значень числових характеристик досліджуваних ознак. Зі вказаною задачею тісно пов'язана й задача оцінки їх точності або з'ясування величин довірчих інтервалів для них та відповідних рівнів довіри.