 |
|
Лабораторная работа №I
Переходные процессы в цепях первого и второго порядка
Общие сведения
Используемые для анализа линейных электрических цепей установившиеся процессы, при которых напряжения и токи - постоянные величины либо гармонические функции времени, практически не реализуемы, так как все физические процессы имеют начало и конец. Следовательно, любое непериодическое изменение воздействия, изменение конфигурации цепи или параметров входящих в нее элементов - приводит к тому, что режим цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к неустановившемуся режиму, принято называть коммутацией. Нестационарные процессы, возникающие в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.
Возникновение переходных процессов в цепи обусловлено наличием в ней реактивных элементов (индуктивностей и емкостей), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При коммутации изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно, поскольку скорость изменения энергии P=dW/dt - мощность, отдаваемая или потребляемая соответствующими элементами цепи, не может быть бесконечно большой.
Это положение носит название принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи, из которого следует непрерывность токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Вывод о непрерывности токов в индуктивностях и напряжений на емкостях формулируется в виде законов коммутации.
Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: 
.
Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: 
.
Следует отметить, что в цепях с идеализированными элементами скачкообразно могут изменяться: а) напряжения на R и L; б) токи в R и С.
Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t=0) называются независимыми начальными условиями.
В основе всех методов расчета переходных процессов в линейных цепях лежит составление интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе уравнений Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых потенциалов и после несложных преобразований приводятся к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
где y(t) - искомая функция (ток или напряжение); 
- постоянные коэффициенты, зависящие от параметров цепи; F(t)- известная функция, зависящая от внешнего воздействия.
Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В частности, можно использовать классический метод, согласно которому решение уравнения находится в виде суммы двух функций: 
, где 
- частное решение определяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи, задаваемый внешними источниками (правой частью уравнения F(t) = de/dt ), 
- общее решение однородного дифференциального уравнения (при F(t)=0) характеризует электрические процессы, обусловленные изменением начального электрического состояния цепи в отсутствии внешних источников свободные (собственные) составляющие.
Таким образом, 
.
Для определения принужденной составляющей переходного процесса в цепи можно воспользоваться любыми известными методами расчета линейных цепей в установившемся режиме после коммутации.
Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению цепи при F(t) = 0:
Если все корни характеристического уравнения простые, свободная составляющая переходного процесса имеет вид
где 
- постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их n-1 - первых производных в начальный момент времени после коммутации).
Так как начальный запас энергии в реактивных элементах цепи всегда ограничен, то при наличии потерь свободные составляющие с течением времени затухают, и при t стремящемся к бесконечности, в цепи будет наблюдаться только принужденный режим.
На основании законов коммутации
откуда 
т. е. начальные значения свободных составляющих определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций.
Лабораторная работа №I